Solució al vint-i-nové repte: Una volta sencera

La solució al repte del circuit és que sempre podrem seleccionar un punt de partida del circuit i donar una volta sencera, independentment de la distribució aleatòria de bidons de gasolina.

Demostració:

Agafem com a punt de partida un punt qualsevol on es trobe un bidó de gasolina, que anomenarem bidó 1. En el sentit de recorregut anirem anomenant la resta de bidons com a bidó 2, bidó 3, etc.

És probable que el punt de partida no ens permeta donar la volta sencera, però de tota manera dibuixarem la gràfica de la quantitat de gasolina que tenim (considerarem també possible una quantitat negativa) en funció del recorregut, suposant que partim del bidó 1 (la gràfica és d’un cas particular que ens permetrà entendre quin és el punt de partida que hauríem d’agafar com a inici).

Circuit_gasolina

En vertical tenim la gasolina disponible en cada moment. La línia roja és el nivell 0 de gasolina suposant que eixim des del punt on es troba el bidó 1. Com podem observar, el pendent de cada tram és igual, ja que suposem que el consum és uniforme en funció de la distància. D’una altra banda també tenim que les rectes verticals en gris representen la quantitat de gasolina de cada bidó.

En el exemple de la figura es veu que no podríem arribar ni al segon bidó, ja que ens quedaríem sense gasolina abans (estem per baix de la línia roja). No obstant, és segur que tindrem una fita inferior que no sobrepassarem (la línia verda). Si agafem com a punt de partida el bidó que hem marcat amb un punt verd (en aquest cas és el 3) podrem fer la volta sencera sense problemes. La qüestió és, per tant, seleccionar com a punt de partida el bidó on tenim l’ínfim de la funció, que sempre existeix.

Espere que s’haja entés correctament.

Vint-i-nové repte: Una volta sencera

En aquest repte us propose el següent problema:

Tenim un cotxe amb el que hem de realitzar una volta sencera a un circuit. Però resulta que la gasolina total per a realitzar la volta és exacta, és a dir, si comencem des d’un punt determinat del circuit, s’acabarà la gasolina just en eixe mateix punt després d’una volta completa al circuit.

circuit

Ara bé, com volem fer-ho difícil, agafem la gasolina del cotxe i la distribuïm pel circuit en una quantitat determinada de bidons situats en punts aleatoris del circuit, posant en cada bidó una quantitat també aleatòria (fins que s’acaba la gasolina que tenia el cotxe). La pregunta és la següent:

És possible, una vegada distribuïda la gasolina en els bidons, trobar un punt del circuit des del qual poder realitzar la volta sencera (carregant la gasolina dels bidons sempre que arribem a ells)? O dit d’una altra manera, existeix alguna distribució de bidons amb determinades quantitats de gasolina (la quantitat total de gasolina ha de ser l’exacta per a donar una volta) de manera que siga impossible seleccionar un punt de partida que assegure poder donar una volta sencera?

Ànim i sort.

Solució al vint-i-huité repte: Vertader o fals?

Aquest repte era molt curiós, ja que aparentment l’opció correcta era l’oferta B. Però les coses no sempre són tan senzilles com pareixen. Recordem les dues ofertes:

  • Oferta de A: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader guanyem exactament 10 euros. Si l’enunciat és fals, guanyem o més de 10 euros o menys de 10 euros, però no 10 euros.
  • Oferta de B: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader o fals, guanyem més de 10 euros.

Amb l’oferta B rebrem més de 10 euros siga vertader o fals, però podrien ser 10 euros i un cèntim. Per desgràcia no sabem exactament la quantitat. Per contra, amb l’oferta A podrem guanyar tants diners com vulguem, com ara veurem.

Si agafem l’oferta A i formulem un enunciat vertader, únicament guanyarem 10 euros, però com volem guanyar molt més, ens interessarà formular un enunciat fals.

Provem amb aquest enunciat:

Ni vaig a guanyar 10 euros ni vaig a guanyar 100 milions d’euros

És un enunciat vertader o fals? Si fóra vertader allò que diu hauria de ser cert, és a dir que no vaig a guanyar 10 euros i tampoc vaig a guanyar 100 milions d’euros, però ací tenim un problema, ja que si fóra cert hauríem de guanyar 10 euros, donat que hem elegit l’oferta A. Arribem en conseqüència a una contradicció i per tant l’enunciat és fals.

Com és fals, el que diu l’oferta A és que guanyarem una quantitat diferent a 10 euros, potser més o potser menys. Però ara pensem en el que diu l’enunciat, que ja sabem que és fals. Com diu que no vaig a guanyar 10 euros i que tampoc vaig a guanyar 100 milions d’euros l’única manera de fer que siga fals és que guanye 100 milions d’euros ja que el fet que no vaig a guanyar 10 euros és vertader (com indica l’oferta). En conclusió, guanyaré 100 milions d’euros.

I ara fixem-nos bé, podem canviar la quantitat de 100 milions d’euros per la quantitat que desitgem. I per tant podem guanyar tant com vulguem.

Ara ja sabeu, podeu jugar al joc de les ofertes amb la gent. I recordeu, no jugueu a allò que no domineu més enllà de la diversió, ja que com hem comentat, la majoria dels jocs no són tan senzills com pareixen.

Una pista per al vint-i-huité repte

És probable que penseu en una frase senzilla o en algun enunciat on la qüestió de si és Vertader o Fals no puga determinar-se. No és eixe el camí.

Us comente que la solució passa per un enunciat que és de l’estil d’aquestos:

  • O … o …
  • Ni … ni …
  • … i …

Ara bé, els punts suspensius han de ser substituïts per certes coses, que clarament van a estar relacionades amb si van a donar-me 10 euros o altres quantitats. Dels tres tipus que us he posat, probablement només un d’ells us funcionarà. En un parell de setmanes posaré la solució.

No penseu que és impossible, ni tampoc us desanimeu si no ho trobeu 😉

Vint-i-huité repte: Vertader o fals?

En aquest repte us presentaré un problema creat per Raymond Smullyan (autor de moltíssims reptes matemàtics de gran qualitat). El problema en qüestió té una relació estreta amb els resultats als que Kurt Gödel va arribar.

Espere que us puga sorprendre:

Tenim a dues persones que anomenarem A i B que ens fan, cadascuna, una oferta. Hem de determinar quina és la millor oferta.

  • Oferta de A: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader guanyem exactament 10 euros. Si l’enunciat és fals, guanyem o més de 10 euros o menys de 10 euros, però no 10 euros.
  • Oferta de B: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader o fals, guanyem més de 10 euros.

ofertas

Quina oferta és millor? (segur que és la B?)

Ànim i sort (a veure si algú és capaç de crear un enunciat de manera que l’oferta A siga la millor opció).

Solució al vint-i-seté repte: Com és possible?

Us recorde l’enunciat del vint-i-seté repte a continuació:

Tenim a dues persones que denominarem A i B que han de participar en un joc. Les regles del joc que a continuació exposarem són donades a A i B al principi del joc, i són aquestes:

  • Posem a les persones A i B en una habitació tancada durant un dia sencer (aquest punt és per a poder dissenyar entre elles una estratègia que funcione).
  • Portem a una determinada sala a A, on tenim un tauler paregut al d’escacs però de tamany 4×4. Quan A està mirant al tauler, assenyalem una casella determinada amb el dit (sense tocar el tauler, per no deixar marques).

4x4-tablero-de-ajedrez

  • Posteriorment posem una moneda sobre cada casella del tauler, ja siga mostrant cara o creu (en cada casella podem posar la moneda com preferim).
  • A ha de canviar una única moneda del tauler de sentit (de cara a creu o de creu a cara).
  • A ix de la sala i posteriorment portem a la sala a la persona B.
  • B ha d’encertar la casella que havíem assenyalat amb el dit.

És possible pensar en alguna estratègia de manera que B, observant únicament les monedes, puga saber quina era la casella? Quina és eixa estratègia?

Solució

Una reacció típica quan algú llig aquest repte és la de pensar que és impossible. Però si es pensa detingudament, podem girar una moneda entre moltes monedes i potser les altres monedes que no són girades puguen ser d’utilitat per a transmetre informació. Està clar que com les monedes són posades de manera aleatòria, potser la informació que volem transmetre puga ser reduïda, i de fet així és, ja que com podreu comprovar, amb un total de 2^n monedes, únicament podrem transmetre n bits d’informació (en el nostre cas tindrem 2^4 = 16 monedes i per tant podrem transmetre 4 bits d’informació, que serviran per indicar la casella que ens marquen).

Per a mostrar la solució crec que la millor manera és un vídeo, ja que d’una altra manera tindríem una explicació escrita massa llarga. A continuació us l’enllace:

També teniu disponible la solució del repte molt ben presentada per Clara Grima, que és una professora/divulgadora de matemàtiques en el següent enllaç:

Clica ací

Espere que el repte us haja paregut interessant.