En el següent vídeo us proporcione la solució al vint-i-quatré repte que vaig plantejar fa un temps. Per a resoldre el primer cas únicament es necessita conéixer el producte pel conjugat, però per als casos 2 i 3 necessitem utilitzar la pista que us vaig proporcionar sobre la factorització del polinomi x^n-y^n.
Espere que s’entenga correctament.
La solució que us propose en el següent vídeo és relativament informal, però espere que clara. El problema és, des del meu punt de vista, molt curiós i inclús més interessant que el famós problema de l’Aniversari de Cheryl, que es va convertir fa un temps en un viral.
Recorde ací l’enuncial del segon problema que vaig plantejar en el repte vint-i-tresé:
M’invente dos nombres enters majors que 1.
Escric en un paper el seu producte i li done el paper al matemàtic A.
Escric en un paper la seua suma i li done el paper al matemàtic B.
Cada matemàtic només ha mirat el seu paper i comenten:
A: No sé la suma.
B: No sé el producte.
A: Ja sé la suma.
B: Ja sé el producte.
Quins són els dos enters?
Ací a continuació teniu el vídeo amb la solució que us propose. Espere que s’entenga.
Tots els vídeos explicatius del tema dels Nombres Reals ja estan disponibles en la secció de 4t d’ESO. També està disponible un document amb exercicis i problemes. És recomanable, però no necessari, fer alguns dels exercicis d’eixe document o si ho preferiu, del llibre (són pràcticament els mateixos).
Per cert, una pista per al repte de racionalització, per si algú ho intenta (siga d’on siga). És per al segon i tercer cas:
Les dues expressions de la imatge anterior són equivalents. La pista és important, però s’ha de pensar com utilitzar-la.
Us recorde a continuació l’enunciat del primer problema del vint-i-tresé repte:
Tenim a dos amics que anomenarem Arnau i Marc, que es coneixen molt bé (entre altres coses cadascú sap l’edat de l’altre). Arnau li pregunta a Marc si coneix com d’antics són tres llibres que es trobaben amagats des de feia moltíssim temps. Marc li contesta que el producte de les antiguitats dels tres llibres és 2450 i que la suma de les antiguitats és igual al doble de l’edat d’Arnau. Després d’això Arnau comença a calcular i li diu a Marc que li fan falta més dades.
Marc se n’adona que és cert, i li comenta que un dels llibres és més vell que la dona d’Arnau, moment en el qual Arnau descobreix l’antiguitat dels llibres.
Les preguntes són les següents:
Quants anys té Arnau?
I cada llibre?
I la dona d’Arnau?
Per a la solució us adjunte un vídeo on he resolt el problema. Espere que s’entenga correctament.
Us recorde ací l’enunciat:
La qüestió és descobrir la quantitat de paraules diferents que es poden fer utilitzant únicament aquestes lletres: A, A, A, B, C, C, D, D, D, D, E, E
Són vàlides totes les paraules encara que no tinguen significat, i també podem utilitzar per a crear una paraula, una única lletra o si ho preferim, podem utilitzar-les totes.
Intenteu pensar la quantitat total de paraules que podem fer.
Pareixia un repte relativament senzill, però la veritat és que es tracta d’un repte realment difícil. Potser aquest repte va suposar la necessitat de mostrar un límit a aquelles persones que van poder resoldre tots els reptes anteriors i veure que inclús coses aparentment senzilles podien tindre una complicació més enllà de la que som capaços de controlar (inclús una ment extraordinària es pot trobar amb un mur pràcticament insuperable amb aquest repte). I si us ha paregut un repte pràcticament impossible, imagineu tractar amb les combinacions del genoma humà per a detectar enfermetats.
Per sort tenim ordinadors que ens permeten calcular milers de milions d’operacions en un temps similar al que necessitàvem temps enrere per a fer-ne únicament una. I això suposa una ventaja extremadament gran si dominem la manera de dir-li a l’ordinador quines operacions ha de fer.
Per a resoldre el problema he realitzat un programa d’ordinador utilitzant Java. Us deixe la solució i el codi que he escrit (potser algun dia sigau capaços d’entendre’l i qui sap? potser també millorar-lo).
Solució:
Paraules de 1 lletres: 5
Paraules de 2 lletres: 24
Paraules de 3 lletres: 110
Paraules de 4 lletres: 477
Paraules de 5 lletres: 1940
Paraules de 6 lletres: 7325
Paraules de 7 lletres: 25340
Paraules de 8 lletres: 78820
Paraules de 9 lletres: 214200
Paraules de 10 lletres: 485100
Paraules de 11 lletres: 831600
Paraules de 12 lletres: 831600
Codi: PalabrasOrdenadas
En aquest repte us propose tres problemes (em van comentar fa temps que intentara posar algun problema similar al de l’Aniversari de Cheryl, i encara que només els dos primers tenen relació, he elegit un altre que també és interessant).
Ahí van:
1.
Tenim a dos amics que anomenarem Arnau i Marc, que es coneixen molt bé (entre altres coses cadascú sap l’edat de l’altre). Arnau li pregunta a Marc si coneix com d’antics són tres llibres que es trobaben amagats des de feia moltíssim temps. Marc li contesta que el producte de les antiguetats dels tres llibres és 2450 i que la suma de les antiguetats és igual al doble de l’edat d’Arnau. Després d’això Arnau comença a calcular i li diu a Marc que li fan falta més dades.
Marc se n’adona que és cert, i li comenta que un dels llibres és més vell que la dona d’Arnau, moment en el qual Arnau descobreix l’antiguetat dels llibres.
Les preguntes són les següents:
Quants anys té Arnau?
I cada llibre?
I la dona d’Arnau?
2.
M’invente dos nombres enters majors que 1.
Escric en un paper el seu producte i li done el paper al matemàtic A.
Escric en un paper la seua suma i li done el paper al matemàtic B.
Cada matemàtic només ha mirat el seu paper i comenten:
A: No sé la suma.
B: No sé el producte.
A: Ja sé la suma.
B: Ja sé el producte.
Quins són els dos enters?
3.
Cinc persones arriben de repent a una illa deserta. Després de parlar sobre el que poden fer decideixen agafar tot el menjar que puguen (només hi ha pinyes a l’illa) i fan una muntanyeta de pinyes. Quan arriba la nit, es desperta un d’ells i decideix separar la seua part, dividint les pinyes en cinc grups iguals, però com sobra una pinya li la dóna a un animalet que estava per allí. Després amaga les seues pinyes baix de terra i junta els quatre grups en una muntanyeta com si no haguera passat res. Un poc més tard, es desperta una segona persona i fa exactament el mateix, fent cinc grupets i torna a sobrar una pinya, que li la dóna a l’animalet i posteriorment amaga la seua part. Les tres persones que queden fan exactament la mateixa cosa (al final l’animalet s’ha menjat 5 pinyes) i quan tots es desperten el matí següent, agrupen les pinyes en 5 grups iguals i aquesta vegada ja no sobra ninguna pinya. Quina és la mínima quantitat de pinyes que hi havia inicialment? Existeixen més solucions?
Ànim i sort.
Ací us propose un repte prou interessant, que juga un poc amb el concepte d’infinit.
Anem a suposar que tenim una caixa infinitament gran on podem anar introduint diferents nombres naturals.
Començarem introduint els números 1, 2 i 3, però després traurem el 1. Ara tenim dos nombres dins de la caixa {2,3}.
Posteriorment introduirem els números 4, 5 i 6, però després traurem el 2. Ara tenim quatre nombres dins de la caixa {3, 4, 5, 6}.
Seguirem amb la mateixa pauta, és a dir, posarem els números 7, 8 i 9, i després llevarem el 3, quedant ara sis nombres dins de la caixa {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Com podem observar, en cada pas tenim dos nombres més que en l’anterior.
La pregunta és la següent:
Si seguim aquest procediment de manera indefinida, quants nombres quedaran al final dins de la caixa?
Us recorde que en aquest repte l’objectiu era que amb tres símbols no repetits intentàrem representar el nombre més gran possible.
El problema es va tractar en el blog de Matifutbol, que està molt bé. I l’entrada concreta que parla d’aquest problema es troba clicant ací.
Us comente la solució a continuació:
La solució és:
que podeu veure calculat clicant ací.
Tenim per tant un nombre de més de mil milions de xifres (si utilitzem el nostre sistema decimal). És tan gran que resulta difícil d’imaginar. Penseu per exemple que podem escriure una xifra cada segon, per tant, necessitaríem més de mil milions de segons per a escriure’l. Passeu a anys eixa quantitat i veureu que necessitaríeu més de 30 anys per a escriure’l (si no descansem ni un segon durant eixos anys). Resulta curiós que únicament amb tres símbols arribem a una quantitat tan gran.
De tota manera aquest nombre és molt inferior a un Googolplex, que ja vam comentar ací. I si ja entrem amb el concepte d’infinit, només ens queda veure que qualsevol quantitat, per gran que siga, resulta insignificant en comparació.
Una cosa està clara:
Si desitgem pintar una superfície de dimensions infinites, no tindrem suficient pintura per cobrir-la.
Ara bé, si la superfície és finita i volem pintar-la amb una fina capa de pintura, no tindrem problema per a aconseguir la pintura i cobrir-la completament (imaginem una superfície rectangular amb unes dimensions finites, per exemple amb una mesura de 10 metres de base i 4 metres d’altura).
Però és completament segur que seria impossible cobrir una superfície infinita amb pintura?
Vaig a proposar-vos un exemple per si em podeu explicar el que ocorre:
Inicialment tenim una habitació en forma de cub de costat 2 metres i per tant un volum de 8 metres cúbics. Si només volem pintar la cara superior, és a dir el sostre, haurem de pintar una superfície de 4 metres quadrats, cosa que realment no requerirà molta pintura.
Anem a modificar l’habitació procedint de la següent manera, farem que l’altura siga la meitat i que l’amplària es duplique, mantenint la longitud d’un costat. És a dir, hem transformat el cub en un ortoedre (com una caixa de sabates) amb unes dimensions de 2 metres, 4 metres i 1 metre. Com podem observar, el volum de la nova habitació es manté en 8 metres cúbics. Ara bé, si només volem pintar la cara superior necessitarem el doble de pintura que abans, ja que ara el nou sostre té 8 metres quadrats.
Si de nou tornem a fer la meitat de l’altura i dupliquem l’amplària ara l’ortoedre tindria unes dimensions de 2 metres, 8 metres i 0,5 metres. De nou el volum es mantindria en 8 metres cúbics però ara la cara superior tindria 16 metres quadrats, i per tant necessitaríem quatre vegades més pintura que en el cas inicial.
Podem continuar aquest procés indefinidament, de manera que arribarà un moment en què ni amb tota la pintura del món podríem cobrir la superfície superior, ja que es duplica indefinidament.
Ara bé, també podríem pensar en omplir l’ortoedre de pintura (amb 8 metres cúbics de pintura tindrem prou) i en eixe cas totes les cares quedarien pintades.
Potser d’aquesta manera el desig es fa possible, o seria només un somni poder aconseguir-ho?
Una cita curiosa i peculiar d’Albert Einstein que pot proporcionar una guia per a entendre la paradoxa és la següent:
“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad no son ciertas y cuando son ciertas no se refieren a la realidad”.
Ànim i sort.
El problema del disseté repte es trobava en elegir una bona estructura d’assajos de tal manera que cada ballarina observara a totes les companyes (recordem que tant Mar com Carla també s’incorporen per a ballar, ja que les altres ballarines poden aprendre observant-les).
Com tenim 6 ballarines, podríem denominar-les A (Carla), B (Mar), C, D, E i F.
Posarem a les que miren davant i separades d’una barra vertical “|” les que ballen.
Una possible solució seria la següent:
– 1ª actuació: ABC | DEF
– 2ª actuació: ADE | BCF
– 3ª actuació: BDF | ACE
– 4ª actuació: CEF | ABD
Amb menys de 4 actuacions és impossible, cosa molt senzilla de demostrar, que us deixe a vosaltres.
Mar de mates 