Solució al dinové repte: Àrea d’una figura senzilla

Us recorde l’enunciat a continuació:

El repte aquesta vegada consisteix en calcular l’àrea d’una senzilla figura que us mostre a continuació:

AreaTriangle

Aparentment és senzilla, ja que tenim un triangle que queda delimitat per la diagonal d’unquadrat de costat 10 metres i per les dues línies que van des del vèrtex del quadrat fins els punts mitjans dels dos costats oposats al vèrtex.

Si únicament volem utilitzar els mínims recursos, és a dir, sense utilitzar trigonometria i sense utilitzar coordenades i vectors, com podrem calcular l’àrea?. Unes ferramentes molt potents són el Teorema de Tales i el Teorema de Pitàgores. A veure qui ho pot aconseguir.

Solució

Si fem dos segments nous que uneixen els punts mitjos dels costats dels quadrat gran, obtenim la següent figura:

AreaTriangleSol

Com es pot observar en la figura, apareixen tres triangles semblants, de manera que pel Teorema de Tales, el triangle ombrejat té una base que mesurarà 2/3 parts de la mesura de la base del triangle més gran (és a dir, la longitud g és 2/3 parts de la longitud h en la figura).

Ara bé, la longitud h es pot calcular utilitzant el Teorema de Pitàgores, ja que és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 5 m. Calculant, h mesurarà \sqrt{50} m i per tant g mesurarà 2\sqrt{50}/3 m.

L’altura del triangle ombrejat és la meitat de la diagonal del quadrat, que també podem calcular aplicant el Teorema de Pitàgores. Aquesta altura té un valor de 5\sqrt{2} m.

L’àrea serà per tant:

\frac{2\sqrt{50}/3 \cdot 5\sqrt{2}}{2}=\frac{50}{3} m^2

Espere que s’haja entés correctament.

Solució al tretzé repte: Informació redundant

Us recorde l’enunciat del tretzé repte, que podeu veure clicant ací:

1. Imagineu que trobem un NIF amb el següent número i lletra:

200_0123K on el guionet baix és una xifra que s’ha borrat. Quina xifra podria ser?

2. Si el número de DNI és de 8 xifres, és possible trobar algun DNI on al variar una única xifra tinga la mateixa lletra? (és a dir, que amb dos valors diferents en una determinada xifra del DNI tingam la mateixa lletra). Seria possible que posant tres valors distints en una determinada xifra s’obtinga la mateixa lletra? I si el DNI fóra de 20 xifres, seria possible?

Solució:

Per a resoldre la primera qüestió, únicament hem de saber que la lletra K correspon a un residu de 21 quan fem la divisió 200_0123:23

És senzill observar que únicament si posem un 3 on es troba el guionet, el residu de la divisió dóna 21. Per tant la solució és 3.

Per a la segona qüestió pensem en el següent fet:

Variar qualsevol xifra del DNI és equivalent a variar el número de DNI en a·10^n, on a és una xifra de 1 a 9 i n és un valor enter des de 0 fins a 7. D’una altra banda sabem que 10^n no és múltiple de 23 per a qualsevol valor de n natural, i per tant tampoc serà múltiple de 23 qualsevol quantitat del tipus a·10^n, on a és una xifra de 1 a 9 i n és un valor enter des de 0 fins a 7 (tampoc ho seria per a qualsevol n natural).

En conseqüència, tindrem que variar una única xifra del DNI modificarà la seua lletra, inclús si el DNI tinguera moltíssimes més xifres. Una altra cosa seria variar més d’una xifra, cosa que sí podria proporcionar la mateixa lletra, ja que eixa variació sí que podria ser un múltiple de 23.

Espere que s’haja entés correctament.

Repte vint-i-cinqué: Una divisió interessant

En aquest repte us presentaré una divisió que a molta gent li podria paréixer estranya, ja que el resultat és prou curiós. La idea d’aquest repte està agafada d’un canal de Youtube molt recomanable anomenat Numberphile. No obstant, la divisió que anem a tractar és una d’eixes coses que es transformen fàcilment en virals i va aparéixer temps abans per alguns altres llocs d’Internet.

La divisió en qüestió és la següent:

\frac{1}{998001}

Les preguntes que seria interessant respondre són les següents:

a) Quin és el resultat que dóna en representació decimal?

b) Es tracta d’un nombre racional o irracional (aquesta és facileta)?

c) Per què dóna eixa representació decimal?

d) Hi ha divisions paregudes que tenen un comportament similar?

Com a pista per a l’apartat c), com a mínim s’ha de tindre clar com passar de decimal a fracció, cosa que vaig comentar en un vídeo fa un temps (ací el teniu).

Per cert, per a realitzar càlculs amb molts dígits us recomane la pàgina www.wolframalpha.com.

Solució al vint-i-quatré repte: Racionalització

En el següent vídeo us proporcione la solució al vint-i-quatré repte que vaig plantejar fa un temps. Per a resoldre el primer cas únicament es necessita conéixer el producte pel conjugat, però per als casos 2 i 3 necessitem utilitzar la pista que us vaig proporcionar sobre la factorització del polinomi x^n-y^n.

Espere que s’entenga correctament.

Solució al vint-i-tresé repte: Segon problema

La solució que us propose en el següent vídeo és relativament informal, però espere que clara. El problema és, des del meu punt de vista, molt curiós i inclús més interessant que el famós problema de l’Aniversari de Cheryl, que es va convertir fa un temps en un viral.

Recorde ací l’enuncial del segon problema que vaig plantejar en el repte vint-i-tresé:

 

M’invente dos nombres enters majors que 1.

Escric en un paper el seu producte i li done el paper al matemàtic A.

Escric en un paper la seua suma i li done el paper al matemàtic B.

Cada matemàtic només ha mirat el seu paper i comenten:

A: No sé la suma.

B: No sé el producte.

A: Ja sé la suma.

B: Ja sé el producte.

Quins són els dos enters?

 

Ací a continuació teniu el vídeo amb la solució que us propose. Espere que s’entenga.

Vídeos del Tema 1. Pista per al repte de racionalització.

Tots els vídeos explicatius del tema dels Nombres Reals ja estan disponibles en la secció de 4t d’ESO. També està disponible un document amb exercicis i problemes. És recomanable, però no necessari, fer alguns dels exercicis d’eixe document o si ho preferiu, del llibre (són pràcticament els mateixos).

Per cert, una pista per al repte de racionalització, per si algú ho intenta (siga d’on siga). És per al segon i tercer cas:

Factorització

Les dues expressions de la imatge anterior són equivalents. La pista és important, però s’ha de pensar com utilitzar-la.

Solució al vint-i-tresé repte: Primer problema

Us recorde a continuació l’enunciat del primer problema del vint-i-tresé repte:

Tenim a dos amics que anomenarem Arnau i Marc, que es coneixen molt bé (entre altres coses cadascú sap l’edat de l’altre). Arnau li pregunta a Marc si coneix com d’antics són tres llibres que es trobaben amagats des de feia moltíssim temps. Marc li contesta que el producte de les antiguitats dels tres llibres és 2450 i que la suma de les antiguitats és igual al doble de l’edat d’Arnau. Després d’això Arnau comença a calcular i li diu a Marc que li fan falta més dades.

Marc se n’adona que és cert, i li comenta que un dels llibres és més vell que la dona d’Arnau, moment en el qual Arnau descobreix l’antiguitat dels llibres.

Les preguntes són les següents:

Quants anys té Arnau?

I cada llibre?

I la dona d’Arnau?

Per a la solució us adjunte un vídeo on he resolt el problema. Espere que s’entenga correctament.