Repte

by

Repte 31é. Fibonacci mòdul n

La successió de Fibonacci és la següent:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Com es pot observar, els dos primers termes són 1, i a partir d’ahí, els següents termes s’obtenen per recurrència sumant els dos anteriors, és a dir:

1+1=2

1+2=3

2+3=5

i així successivament.

En aquest repte no tractarem directament amb la successió de Fibonacci, sinó amb els termes de la successió mòdul n, és a dir, amb els residus de cada nombre de la successió al ser dividits per un nombre natural n.

Per exemple, la successió de Fibonacci mòdul 3 seria la següent:

1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, …

Com es pot observar apareix un determinat període en la successió. Les preguntes són les següents:

  • Sempre serà periòdica per a qualsevol valor n?
  • Quan tenim un període, sempre començarà al principi i acabarà en 1, 0?
  • Quan un període acaba en 0, quin significat tindrà en la successió de Fibonacci originària (és a dir, l’últim terme del període de la successió originària serà múltiple d’algun nombre concret)?
  • Existeix alguna relació entre el període de la successió mòdul n i la successió mòdul kn (és a dir, quan fem mòdul d’un múltiple del valor n)? I entre el tamany dels períodes (que denominarem T(n) per a la successió mòdul n)?
  • Es podria demostrar que si n i m són primers entre sí, T(nm)=mcm(T(n),T(m))?
  • I aquesta molt més difícil (de moment la desconec), es podria obtindre una fórmula per determinar el tamany del període en funció del valor n?

Si a algú li pot ser útil el següent arxiu Excel, per a generar les successions mòdul n, ahí va:

successió-fibonacci-mòdul-n

(en l’arxiu es pot canviar el valor d’AC3 i generar de nou la columna AD a partir del tercer element)

Ànim i sort.

by

Repte 30é. Trencant barretes

A continuació us presente un repte de probabilitat que em pareix interessant.

Suposem que disposem d’una barreta cilíndrica de longitud L que ens demanen que partim amb un únic tall transversal (paral·lel a les bases). Ens donen total llibertat per trencar-la per on considerem oportú, és a dir, el tall pot ser tan proper a una base com vulguem.

La pregunta és la següent: quina serà la longitud mitjana del tros menudet? i la del tros gran?

Ara anem a complicar les coses:

Si en lloc de trencar-la en dos trossos, hem de partir-la en tres trossos, quina serà la longitud mitjana del tros menut, del mitjà i del gran?

I si algú vol complicar el problema molt més, quines seran les longituds mitjanes ordenades per tamany si la trencàrem en una quantitat N de trossos?

Ànim i sort.

by

Solució al vint-i-nové repte: Una volta sencera

La solució al repte del circuit és que sempre podrem seleccionar un punt de partida del circuit i donar una volta sencera, independentment de la distribució aleatòria de bidons de gasolina.

Demostració:

Agafem com a punt de partida un punt qualsevol on es trobe un bidó de gasolina, que anomenarem bidó 1. En el sentit de recorregut anirem anomenant la resta de bidons com a bidó 2, bidó 3, etc.

És probable que el punt de partida no ens permeta donar la volta sencera, però de tota manera dibuixarem la gràfica de la quantitat de gasolina que tenim (considerarem també possible una quantitat negativa) en funció del recorregut, suposant que partim del bidó 1 (la gràfica és d’un cas particular que ens permetrà entendre quin és el punt de partida que hauríem d’agafar com a inici).

Circuit_gasolina

En vertical tenim la gasolina disponible en cada moment. La línia roja és el nivell 0 de gasolina suposant que eixim des del punt on es troba el bidó 1. Com podem observar, el pendent de cada tram és igual, ja que suposem que el consum és uniforme en funció de la distància. D’una altra banda també tenim que les rectes verticals en gris representen la quantitat de gasolina de cada bidó.

En el exemple de la figura es veu que no podríem arribar ni al segon bidó, ja que ens quedaríem sense gasolina abans (estem per baix de la línia roja). No obstant, és segur que tindrem una fita inferior que no sobrepassarem (la línia verda). Si agafem com a punt de partida el bidó que hem marcat amb un punt verd (en aquest cas és el 3) podrem fer la volta sencera sense problemes. La qüestió és, per tant, seleccionar com a punt de partida el bidó on tenim l’ínfim de la funció, que sempre existeix.

Espere que s’haja entés correctament.

by

Vint-i-nové repte: Una volta sencera

En aquest repte us propose el següent problema:

Tenim un cotxe amb el que hem de realitzar una volta sencera a un circuit. Però resulta que la gasolina total per a realitzar la volta és exacta, és a dir, si comencem des d’un punt determinat del circuit, s’acabarà la gasolina just en eixe mateix punt després d’una volta completa al circuit.

circuit

Ara bé, com volem fer-ho difícil, agafem la gasolina del cotxe i la distribuïm pel circuit en una quantitat determinada de bidons situats en punts aleatoris del circuit, posant en cada bidó una quantitat també aleatòria (fins que s’acaba la gasolina que tenia el cotxe). La pregunta és la següent:

És possible, una vegada distribuïda la gasolina en els bidons, trobar un punt del circuit des del qual poder realitzar la volta sencera (carregant la gasolina dels bidons sempre que arribem a ells)? O dit d’una altra manera, existeix alguna distribució de bidons amb determinades quantitats de gasolina (la quantitat total de gasolina ha de ser l’exacta per a donar una volta) de manera que siga impossible seleccionar un punt de partida que assegure poder donar una volta sencera?

Ànim i sort.

by

Vint-i-huité repte: Vertader o fals?

En aquest repte us presentaré un problema creat per Raymond Smullyan (autor de moltíssims reptes matemàtics de gran qualitat). El problema en qüestió té una relació estreta amb els resultats als que Kurt Gödel va arribar.

Espere que us puga sorprendre:

Tenim a dues persones que anomenarem A i B que ens fan, cadascuna, una oferta. Hem de determinar quina és la millor oferta.

  • Oferta de A: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader guanyem exactament 10 euros. Si l’enunciat és fals, guanyem o més de 10 euros o menys de 10 euros, però no 10 euros.
  • Oferta de B: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader o fals, guanyem més de 10 euros.

ofertas

Quina oferta és millor? (segur que és la B?)

Ànim i sort (a veure si algú és capaç de crear un enunciat de manera que l’oferta A siga la millor opció).

by

Solució al vint-i-seté repte: Com és possible?

Us recorde l’enunciat del vint-i-seté repte a continuació:

Tenim a dues persones que denominarem A i B que han de participar en un joc. Les regles del joc que a continuació exposarem són donades a A i B al principi del joc, i són aquestes:

  • Posem a les persones A i B en una habitació tancada durant un dia sencer (aquest punt és per a poder dissenyar entre elles una estratègia que funcione).
  • Portem a una determinada sala a A, on tenim un tauler paregut al d’escacs però de tamany 4×4. Quan A està mirant al tauler, assenyalem una casella determinada amb el dit (sense tocar el tauler, per no deixar marques).

4x4-tablero-de-ajedrez

  • Posteriorment posem una moneda sobre cada casella del tauler, ja siga mostrant cara o creu (en cada casella podem posar la moneda com preferim).
  • A ha de canviar una única moneda del tauler de sentit (de cara a creu o de creu a cara).
  • A ix de la sala i posteriorment portem a la sala a la persona B.
  • B ha d’encertar la casella que havíem assenyalat amb el dit.

És possible pensar en alguna estratègia de manera que B, observant únicament les monedes, puga saber quina era la casella? Quina és eixa estratègia?

Solució

Una reacció típica quan algú llig aquest repte és la de pensar que és impossible. Però si es pensa detingudament, podem girar una moneda entre moltes monedes i potser les altres monedes que no són girades puguen ser d’utilitat per a transmetre informació. Està clar que com les monedes són posades de manera aleatòria, potser la informació que volem transmetre puga ser reduïda, i de fet així és, ja que com podreu comprovar, amb un total de 2^n monedes, únicament podrem transmetre n bits d’informació (en el nostre cas tindrem 2^4 = 16 monedes i per tant podrem transmetre 4 bits d’informació, que serviran per indicar la casella que ens marquen).

Per a mostrar la solució crec que la millor manera és un vídeo, ja que d’una altra manera tindríem una explicació escrita massa llarga. A continuació us l’enllace:

També teniu disponible la solució del repte molt ben presentada per Clara Grima, que és una professora/divulgadora de matemàtiques en el següent enllaç:

Clica ací

Espere que el repte us haja paregut interessant.

by

Vint-i-seté repte: Com és possible?

Fa res vas llegir una entrada en un Bloc que em va paréixer interessant i us la presente a continuació com a repte:

Tenim a dues persones que denominarem A i B que han de participar en un joc. Les regles del joc que a continuació exposarem són donades a A i B al principi del joc, i són aquestes:

  • Posem a les persones A i B en una habitació tancada durant un dia sencer (aquest punt és per a poder dissenyar entre elles una estratègia que funcione).
  • Portem a una determinada sala a A, on tenim un tauler paregut al d’escacs però de tamany 4×4. Quan A està mirant al tauler, assenyalem una casella determinada amb el dit (sense tocar el tauler, per no deixar marques).

4x4-tablero-de-ajedrez

  • Posteriorment posem una moneda sobre cada casella del tauler, ja siga mostrant cara o creu (en cada casella podem posar la moneda com preferim).
  • A ha de canviar una única moneda del tauler de sentit (de cara a creu o de creu a cara).
  • A ix de la sala i posteriorment portem a la sala a la persona B.
  • B ha d’encertar la casella que havíem assenyalat amb el dit.

És possible pensar en alguna estratègia de manera que B, observant únicament les monedes, puga saber quina era la casella? Ja us anticipe que la resposta és sí. Quina és eixa estratègia?

Ànim i sort.

by

Solució al dinové repte: Àrea d’una figura senzilla

Us recorde l’enunciat a continuació:

El repte aquesta vegada consisteix en calcular l’àrea d’una senzilla figura que us mostre a continuació:

AreaTriangle

Aparentment és senzilla, ja que tenim un triangle que queda delimitat per la diagonal d’unquadrat de costat 10 metres i per les dues línies que van des del vèrtex del quadrat fins els punts mitjans dels dos costats oposats al vèrtex.

Si únicament volem utilitzar els mínims recursos, és a dir, sense utilitzar trigonometria i sense utilitzar coordenades i vectors, com podrem calcular l’àrea?. Unes ferramentes molt potents són el Teorema de Tales i el Teorema de Pitàgores. A veure qui ho pot aconseguir.

Solució

Si fem dos segments nous que uneixen els punts mitjos dels costats dels quadrat gran, obtenim la següent figura:

AreaTriangleSol

Com es pot observar en la figura, apareixen tres triangles semblants, de manera que pel Teorema de Tales, el triangle ombrejat té una base que mesurarà 2/3 parts de la mesura de la base del triangle més gran (és a dir, la longitud g és 2/3 parts de la longitud h en la figura).

Ara bé, la longitud h es pot calcular utilitzant el Teorema de Pitàgores, ja que és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 5 m. Calculant, h mesurarà \sqrt{50} m i per tant g mesurarà 2\sqrt{50}/3 m.

L’altura del triangle ombrejat és la meitat de la diagonal del quadrat, que també podem calcular aplicant el Teorema de Pitàgores. Aquesta altura té un valor de 5\sqrt{2} m.

L’àrea serà per tant:

\frac{2\sqrt{50}/3 \cdot 5\sqrt{2}}{2}=\frac{50}{3} m^2

Espere que s’haja entés correctament.

by

Solució al tretzé repte: Informació redundant

Us recorde l’enunciat del tretzé repte, que podeu veure clicant ací:

1. Imagineu que trobem un NIF amb el següent número i lletra:

200_0123K on el guionet baix és una xifra que s’ha borrat. Quina xifra podria ser?

2. Si el número de DNI és de 8 xifres, és possible trobar algun DNI on al variar una única xifra tinga la mateixa lletra? (és a dir, que amb dos valors diferents en una determinada xifra del DNI tingam la mateixa lletra). Seria possible que posant tres valors distints en una determinada xifra s’obtinga la mateixa lletra? I si el DNI fóra de 20 xifres, seria possible?

Solució:

Per a resoldre la primera qüestió, únicament hem de saber que la lletra K correspon a un residu de 21 quan fem la divisió 200_0123:23

És senzill observar que únicament si posem un 3 on es troba el guionet, el residu de la divisió dóna 21. Per tant la solució és 3.

Per a la segona qüestió pensem en el següent fet:

Variar qualsevol xifra del DNI és equivalent a variar el número de DNI en a·10^n, on a és una xifra de 1 a 9 i n és un valor enter des de 0 fins a 7. D’una altra banda sabem que 10^n no és múltiple de 23 per a qualsevol valor de n natural, i per tant tampoc serà múltiple de 23 qualsevol quantitat del tipus a·10^n, on a és una xifra de 1 a 9 i n és un valor enter des de 0 fins a 7 (tampoc ho seria per a qualsevol n natural).

En conseqüència, tindrem que variar una única xifra del DNI modificarà la seua lletra, inclús si el DNI tinguera moltíssimes més xifres. Una altra cosa seria variar més d’una xifra, cosa que sí podria proporcionar la mateixa lletra, ja que eixa variació sí que podria ser un múltiple de 23.

Espere que s’haja entés correctament.

by

Repte vint-i-cinqué: Una divisió interessant

En aquest repte us presentaré una divisió que a molta gent li podria paréixer estranya, ja que el resultat és prou curiós. La idea d’aquest repte està agafada d’un canal de Youtube molt recomanable anomenat Numberphile. No obstant, la divisió que anem a tractar és una d’eixes coses que es transformen fàcilment en virals i va aparéixer temps abans per alguns altres llocs d’Internet.

La divisió en qüestió és la següent:

\frac{1}{998001}

Les preguntes que seria interessant respondre són les següents:

a) Quin és el resultat que dóna en representació decimal?

b) Es tracta d’un nombre racional o irracional (aquesta és facileta)?

c) Per què dóna eixa representació decimal?

d) Hi ha divisions paregudes que tenen un comportament similar?

Com a pista per a l’apartat c), com a mínim s’ha de tindre clar com passar de decimal a fracció, cosa que vaig comentar en un vídeo fa un temps (ací el teniu).

Per cert, per a realitzar càlculs amb molts dígits us recomane la pàgina www.wolframalpha.com.