Repte 32é. Punts alineats

Fa res, el meu amic Sergi em va plantejar un problema sobre posar uns punts de manera que tinguérem la possibilitat de fer la màxima quantitat de línies passant per tres punts. Ahí va el problema concret que em va comentar:

Posar 9 punts en el pla de manera que es puguen fer 10 línies que passen per diferents conjunts de 3 punts alineats (existeixen diverses solucions).

I si algú vol complicar-se un poc més l’existència, ahí van unes preguntes addicionals:

  • Amb 9 punts, podríem fer més de 10 línies?
  • Existeix alguna relació entre el nombre de punts i la quantitat máxima de línies?
  • I una variant del problema: si només podem fer una línea quan tenim 4 punts alineats, amb 10 punts podríem fer 5 línies?

Ànim i sort.

Repte 31é. Fibonacci mòdul n

La successió de Fibonacci és la següent:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Com es pot observar, els dos primers termes són 1, i a partir d’ahí, els següents termes s’obtenen per recurrència sumant els dos anteriors, és a dir:

1+1=2

1+2=3

2+3=5

i així successivament.

En aquest repte no tractarem directament amb la successió de Fibonacci, sinó amb els termes de la successió mòdul n, és a dir, amb els residus de cada nombre de la successió al ser dividits per un nombre natural n.

Per exemple, la successió de Fibonacci mòdul 3 seria la següent:

1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, …

Com es pot observar apareix un determinat període en la successió. Les preguntes són les següents:

  • Sempre serà periòdica per a qualsevol valor n?
  • Quan tenim un període, sempre començarà al principi i acabarà en 1, 0?
  • Quan un període acaba en 0, quin significat tindrà en la successió de Fibonacci originària (és a dir, l’últim terme del període de la successió originària serà múltiple d’algun nombre concret)?
  • Existeix alguna relació entre el període de la successió mòdul n i la successió mòdul kn (és a dir, quan fem mòdul d’un múltiple del valor n)? I entre el tamany dels períodes (que denominarem T(n) per a la successió mòdul n)?
  • Es podria demostrar que si n i m són primers entre sí, T(nm)=mcm(T(n),T(m))?
  • I aquesta molt més difícil (de moment la desconec), es podria obtindre una fórmula per determinar el tamany del període en funció del valor n?

Si a algú li pot ser útil el següent arxiu Excel, per a generar les successions mòdul n, ahí va:

successió-fibonacci-mòdul-n

(en l’arxiu es pot canviar el valor d’AC3 i generar de nou la columna AD a partir del tercer element)

Ànim i sort.

Repte 30é. Trencant barretes

A continuació us presente un repte de probabilitat que em pareix interessant.

Suposem que disposem d’una barreta cilíndrica de longitud L que ens demanen que partim amb un únic tall transversal (paral·lel a les bases). Ens donen total llibertat per trencar-la per on considerem oportú, és a dir, el tall pot ser tan proper a una base com vulguem.

La pregunta és la següent: quina serà la longitud mitjana del tros menudet? i la del tros gran?

Ara anem a complicar les coses:

Si en lloc de trencar-la en dos trossos, hem de partir-la en tres trossos, quina serà la longitud mitjana del tros menut, del mitjà i del gran?

I si algú vol complicar el problema molt més, quines seran les longituds mitjanes ordenades per tamany si la trencàrem en una quantitat N de trossos?

Ànim i sort.

Solució al vint-i-nové repte: Una volta sencera

La solució al repte del circuit és que sempre podrem seleccionar un punt de partida del circuit i donar una volta sencera, independentment de la distribució aleatòria de bidons de gasolina.

Demostració:

Agafem com a punt de partida un punt qualsevol on es trobe un bidó de gasolina, que anomenarem bidó 1. En el sentit de recorregut anirem anomenant la resta de bidons com a bidó 2, bidó 3, etc.

És probable que el punt de partida no ens permeta donar la volta sencera, però de tota manera dibuixarem la gràfica de la quantitat de gasolina que tenim (considerarem també possible una quantitat negativa) en funció del recorregut, suposant que partim del bidó 1 (la gràfica és d’un cas particular que ens permetrà entendre quin és el punt de partida que hauríem d’agafar com a inici).

Circuit_gasolina

En vertical tenim la gasolina disponible en cada moment. La línia roja és el nivell 0 de gasolina suposant que eixim des del punt on es troba el bidó 1. Com podem observar, el pendent de cada tram és igual, ja que suposem que el consum és uniforme en funció de la distància. D’una altra banda també tenim que les rectes verticals en gris representen la quantitat de gasolina de cada bidó.

En el exemple de la figura es veu que no podríem arribar ni al segon bidó, ja que ens quedaríem sense gasolina abans (estem per baix de la línia roja). No obstant, és segur que tindrem una fita inferior que no sobrepassarem (la línia verda). Si agafem com a punt de partida el bidó que hem marcat amb un punt verd (en aquest cas és el 3) podrem fer la volta sencera sense problemes. La qüestió és, per tant, seleccionar com a punt de partida el bidó on tenim l’ínfim de la funció, que sempre existeix.

Espere que s’haja entés correctament.

Vint-i-nové repte: Una volta sencera

En aquest repte us propose el següent problema:

Tenim un cotxe amb el que hem de realitzar una volta sencera a un circuit. Però resulta que la gasolina total per a realitzar la volta és exacta, és a dir, si comencem des d’un punt determinat del circuit, s’acabarà la gasolina just en eixe mateix punt després d’una volta completa al circuit.

circuit

Ara bé, com volem fer-ho difícil, agafem la gasolina del cotxe i la distribuïm pel circuit en una quantitat determinada de bidons situats en punts aleatoris del circuit, posant en cada bidó una quantitat també aleatòria (fins que s’acaba la gasolina que tenia el cotxe). La pregunta és la següent:

És possible, una vegada distribuïda la gasolina en els bidons, trobar un punt del circuit des del qual poder realitzar la volta sencera (carregant la gasolina dels bidons sempre que arribem a ells)? O dit d’una altra manera, existeix alguna distribució de bidons amb determinades quantitats de gasolina (la quantitat total de gasolina ha de ser l’exacta per a donar una volta) de manera que siga impossible seleccionar un punt de partida que assegure poder donar una volta sencera?

Ànim i sort.

Vint-i-huité repte: Vertader o fals?

En aquest repte us presentaré un problema creat per Raymond Smullyan (autor de moltíssims reptes matemàtics de gran qualitat). El problema en qüestió té una relació estreta amb els resultats als que Kurt Gödel va arribar.

Espere que us puga sorprendre:

Tenim a dues persones que anomenarem A i B que ens fan, cadascuna, una oferta. Hem de determinar quina és la millor oferta.

  • Oferta de A: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader guanyem exactament 10 euros. Si l’enunciat és fals, guanyem o més de 10 euros o menys de 10 euros, però no 10 euros.
  • Oferta de B: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader o fals, guanyem més de 10 euros.

ofertas

Quina oferta és millor? (segur que és la B?)

Ànim i sort (a veure si algú és capaç de crear un enunciat de manera que l’oferta A siga la millor opció).

Solució al vint-i-seté repte: Com és possible?

Us recorde l’enunciat del vint-i-seté repte a continuació:

Tenim a dues persones que denominarem A i B que han de participar en un joc. Les regles del joc que a continuació exposarem són donades a A i B al principi del joc, i són aquestes:

  • Posem a les persones A i B en una habitació tancada durant un dia sencer (aquest punt és per a poder dissenyar entre elles una estratègia que funcione).
  • Portem a una determinada sala a A, on tenim un tauler paregut al d’escacs però de tamany 4×4. Quan A està mirant al tauler, assenyalem una casella determinada amb el dit (sense tocar el tauler, per no deixar marques).

4x4-tablero-de-ajedrez

  • Posteriorment posem una moneda sobre cada casella del tauler, ja siga mostrant cara o creu (en cada casella podem posar la moneda com preferim).
  • A ha de canviar una única moneda del tauler de sentit (de cara a creu o de creu a cara).
  • A ix de la sala i posteriorment portem a la sala a la persona B.
  • B ha d’encertar la casella que havíem assenyalat amb el dit.

És possible pensar en alguna estratègia de manera que B, observant únicament les monedes, puga saber quina era la casella? Quina és eixa estratègia?

Solució

Una reacció típica quan algú llig aquest repte és la de pensar que és impossible. Però si es pensa detingudament, podem girar una moneda entre moltes monedes i potser les altres monedes que no són girades puguen ser d’utilitat per a transmetre informació. Està clar que com les monedes són posades de manera aleatòria, potser la informació que volem transmetre puga ser reduïda, i de fet així és, ja que com podreu comprovar, amb un total de 2^n monedes, únicament podrem transmetre n bits d’informació (en el nostre cas tindrem 2^4 = 16 monedes i per tant podrem transmetre 4 bits d’informació, que serviran per indicar la casella que ens marquen).

Per a mostrar la solució crec que la millor manera és un vídeo, ja que d’una altra manera tindríem una explicació escrita massa llarga. A continuació us l’enllace:

També teniu disponible la solució del repte molt ben presentada per Clara Grima, que és una professora/divulgadora de matemàtiques en el següent enllaç:

Clica ací

Espere que el repte us haja paregut interessant.