Un rellotge diferent

Amb el regal que m’han fet aquestos Nadals és difícil no trobar la relació amb allò que ensenye, o que almenys intente ensenyar (potser no sempre amb l’ànim o l’enfoc adequat).

20151230_203120

Rellotge matemàtic

És un rellotge curiós, ja que apareixen operacions i equacions en lloc dels símbols típics per a les hores (1, 2, …, 12).

Si mirem detingudament alguna de les operacions, resulta interessant veure com les divisions estan escrites de manera diferent a la que estem acostumats. Per exemple, a les 3 hores tenim l’operació 198/66, però escrita com en alguns països la realitzen, que és com mostre en la següent imatge.

divisió diferent

I una altra cosa que em va resultar estranya és el que apareix per a representar les 9 hores. És una representació que no és igual a 9, ja que el número pi no és exactament 3,14. El número pi és irracional de tipus trascendent (raó per la qual no és possible quadrar un cercle només amb regle i compàs). De tota manera és un rellotge molt guapet.

 

El principi d’inducció matemàtica

Una de les “ferramentes” més importants dels nombres naturals, és el principi d’inducció matemàtica.

Probablement es tracta del mecanisme de demostració més potent per a l’obtenció de fórmules on intervenen els nombres naturals. Inclús la definició dels nombres naturals necessita d’aquest principi, i per tant, podríem dir que més que una ferramenta és una propietat dels nombres naturals, potser la propietat fonamental dels nombres naturals.

I què és exactament aquest principi?

Suposem que tenim una determinada propietat que anomenarem P, que depén d’un determinat valor natural n, cosa que expressarem com P(n). Anem a exigir que la propietat, per a cada valor natural que elegim, siga o vertadera o falsa.

Anem a posar un exemple d’una determinada propietat:

P(n): L’última xifra del nombre natural n és 3

P(1) seria falsa.

P(2) també seria falsa.

P(3) seria vertadera, i també serien vertaderes P(13), P(23), P(33),…

Clarament aquest exemple tracta una propietat que no és certa per a tots els nombres naturals.

Ara bé, com podríem demostrar que una determinada propietat és vàlida per a tots els nombres naturals? Hauríem de provar amb tots els nombres naturals? La resposta es troba en el principi d’inducció matemàtica, que consisteix en les següents dues condicions:

  • Tenim una propietat que és certa per al valor 1, és a dir, P(1) és certa.
  • Si la propietat és certa per a un valor determinat, també serà certa per al següent valor, és a dir, si P(k) és certa, també serà certa P(k+1).

Si tenim aquestes dues condicions, tindrem que la propietat és certa per a tots els nombres naturals.

*Una variant típica per a demostrar una propietat referent als nombres naturals a partir d’un natural determinat, que denominarem a, només requeriria modificar la primera condició del principi d’inducció per a confirmar que P(a) és certa.

Anem amb un exemple senzill:

P(n): La suma de 1+2+…+n és igual a n·(n+1)/2

Per a demostrar aquesta propietat hem de comprovar les dues condicions del principi d’inducció.

P(1) = 1 = 1·(1+1)/2. Efectivament tenim 1 = 1 que és cert.

Ara haurem de veure que suposant que 1+2+…+k = k·(k+1)/2 siga cert, també ho serà que 1+2+…+k+(k+1) = (k+1)·(k+2)/2.

I això és molt senzill de veure, ja que:

1+2+…+k+(k+1) = k·(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)·[k/2 +1] = (k+1)·(k+2)/2

Per tant acabem de veure que aquesta propietat és certa per a tots els nombres naturals.

Podeu provar multitud de fórmules utilitzant el principi d’inducció. A continuació us propose una propietat per a practicar. Demostrar que 3^(4n) + 9 és un múltiple de 10.

“Cómo contar hasta el infinito” (Richard Elwes)

El llibre que us presente a continuació és un llibre que a priori (pràcticament abans d’obrir-lo) vaig considerar com un llibre no massa interessant i probablement amb una informació poc útil, o possiblement ja massa coneguda.

No obstant, després de començar a llegir uns quants capítols, la meua opinió va canviar de manera radical. Em va sorprendre moltíssim com amb unes poques pàgines per cada capítol (en total té 35 capítols) era capaç de presentar tantes coses i amb un estil molt agradable.

20151217_202048

Cómo contar hasta el infinito

Amb tants capítols és pràcticament impossible aprofundir en un tema concret, però és cert que és més que probable trobar en cadascun d’ells algun detall, ja siga una curiositat, una referència a un autor o inclús una manera de presentar un concepte, que segur us proporcionarà una molt bona sensació.

Des del meu punt de vista és molt difícil de superar en aquest format concret, és a dir, tractant molts temes diferents amb una quantitat de pàgines raonable (en aquest cas poc més de 200). No crec que siga possible amb una quantitat de pàgines similar, incloure més informació interessant per a persones que ja puguen tindre certs coneixements sobre els temes que tracta i alhora mantenidre una presentació adequada per a gent que no tinga coneixements previs. Personalment el veig un llibre molt equilibrat i ben pensat, ja que abarca un públic prou extens.

Respecte al títol dels 35 capítols podeu veure’ls en la següent imatge:

20151218_000940

Espere que si el llegiu, el trobeu interessant.

Vint-i-sisé repte: Una proporció d’àrees

El repte que us presente a continuació és un repte geomètric. A veure si el resoleu de manera senzilla.

Ací teniu l’enunciat (es podria fer de manera formal, però sempre és més “guapet” inventar una xicoteta història, encara que en aquest cas és un poc ajustada):

Proporció d'àrees

Comprem una pizza amb la típica forma de semicercle (de diàmetre AB) que per cert, ha costat prou cara. Resulta que com és massa gran, pensem en retallar de la pizza originària dues sub-pizzes (també en forma de semicercle i que reservarem per a uns altres dies) i menjar-nos únicament la zona que en la figura anterior és grisa.

Ara bé, per a retallar eixes dues noves sub-pizzes (de diàmetres AC i BC) tenim un dubte, que és on seleccionar el punt C (haurà d’estar situat entre A i B). Si elegim C proper a A o B, una de les dues sub-pizzes serà molt gran i l’altra molt menuda.

Com no arribem a decidir-nos, un amic matemàtic que estava present ens proposa una aposta, i ens diu:

  • Una vegada elegit el punt C, calcularem la distància des de C fins la vora de la pizza originària mesurant de manera perpendicular a AB, és a dir, la distància CD.
  • Després farem un semicercle en un paper de radi eixa mesura CD (seria la figura ratllada, que he posat junt a la pizza per poder observar els tamanys de manera comparativa).

Com pareix que ja no diu res més, li comentem, però aleshores quina és l’aposta? I diu:

  • Si l’àrea d’eixe semicercle (zona ratllada) és més del doble que la de la zona grisa, et donaré 20 euros. I mira, també te’ls donaré si l’àrea de la zona grisa és més de la meitat de la de la zona ratllada. I si no és així ens partim el tros de pizza sencer sense fer sub-pizzes ni ninguna història.

Pensant un poc en el que acaba de dir-nos, li comentem que segurament s’ha equivocat amb l’aposta i que com podem elegir el pun C on vulguem, anem a guanyar-nos 20 euros ben rapidet.

Guanyarem eixos 20 euros o ens tocarà compartir la pizza?

Solució al vint-i-cinqué repte: Una divisió interessant

Us recorde l’enunciat del repte vint-i-cinqué:

En aquest repte us presentaré una divisió que a molta gent li podria paréixer estranya, ja que el resultat és prou curiós. La idea d’aquest repte està agafada d’un canal de Youtube molt recomanable anomenat Numberphile. No obstant, la divisió que anem a tractar és una d’eixes coses que es transformen fàcilment en virals i va aparéixer temps abans per alguns altres llocs d’Internet.

La divisió en qüestió és la següent:

\frac{1}{998001}

Les preguntes que seria interessant respondre són les següents:

a) Quin és el resultat que dóna en representació decimal?

b) Es tracta d’un nombre racional o irracional (aquesta és facileta)?

c) Per què dóna eixa representació decimal?

d) Hi ha divisions paregudes que tenen un comportament similar?

 

Com a solució d’aquest repte us pose a continuació el vídeo de Numberphile on queda clara la resposta a les preguntes que us faig, potser llevat de la b), on la resposta és que clarament és racional, ja que és una fracció.

 

Espere que tot s’entenga correctament (està en anglés, però em pareix que és fàcil d’entendre)