El que es proposa és buscar pots en els que puguem guardar boletes o altres elements. En cadascun dels pots s’ha de marcar un símbol numèric (també convé posar la quantitat de punts del número marcat) que expressarà el valor dels elements que posem dins d’ell.

Lo que se propone es buscar botes en los que podamos guardar bolitas u otros elementos. En cada uno de los botes se tiene que marcar un símbolo numérico (también conviene poner la cantidad de puntos del número marcado) que expresará el valor de los elementos que pongamos dentro de él.

Aquestos pots, junt a les boletes (que també podem fer), ens seran d’utilitat per realitzar algunes activitats i jocs proposats.

Estos botes, junto con las bolitas (que también podemos hacer), nos serán de utilidad para realizar algunas actividades y juegos propuestos.

L’objectiu és fer una cosa semblant al que apareix en la següent imatge / El objetivo es hacer una cosa similar a lo que aparece en la siguiente imagen:

Els pots que es poden fer servir poden ser de diferent tipus, ja siga de vidre, plàstic o qualsevol altre material.

Los botes que se pueden utilizar pueden ser de diferente tipo, ya sea de vidrio, plástico o cualquier otro material.

Podem fer també les boletes a introduir als pots d’una manera molt senzilla. Per exemple, es poden pintar boletes de suro amb retoladors. També poden ser altres elements ja fets.

Podemos hacer también las bolitas a introducir en los botes de una manera muy sencilla. Por ejemplo, se pueden pintar bolitas de corcho con rotuladores. También pueden ser otros elementos ya hechos.

El conjunt podria quedar de la següent manera / El conjunto podría quedar de la siguiente manera:

L’ús que se li donarà a aquest material es veurà en activitats posteriors, però com a exemple es proposa la següent imatge, on el valor que s’aconsegueix és 6, ja que cada boleta valdria tres punts (3+3=6).

El uso que se le dará a este material se verá en actividades posteriores, pero como ejemplo se propone la siguiente imagen, donde el valor que se consigue es 6, ya que cada bolita valdría tres puntos (3+3=6).

Carla té 6 caramels, Pere en té 5 i Joan en té 8. Si Pere li’n dóna 3 a Carla i Joan li’n dóna 4 a Pere, quants caramels tindrà cadascú al final? Si sumem els caramels totals al principi i els caramels totals al final, tindrem la mateixa quantitat?

Carla tiene 6 caramelos, Pedro tiene 5 y Juan tiene 8. Si Pedro le da 3 a Carla y Juan le da 4 a Pedro, ¿cuántos caramelos tendrá cada uno al final? Si sumamos los caramelos totales al principio y los caramelos totales al final, ¿tendremos la misma cantidad?

PROPOSTA DE RESOLUCIÓ / PROPUESTA DE RESOLUCIÓN

Representem la situació inicial / Representamos la situación inicial:

Realitzem els canvis i representem la situació final / Realizamos los cambios y representamos la situación final:

Representem de manera pictòrica el procés / Representamos de manera pictórica el proceso:

Fem la comprovació per saber si les quantitats totals al principi i al final coincideixen / Hacemos la comprobación para saber si las cantidades totales al principio y al final coinciden:

Per últim hem d’intentar pensar la raó per la qual coincideixen / Por último tenemos que intentar pensar la razón por la cual coinciden.

L’operació de sumar dues quantitats té un primer significat d’unir, però també té un altre significat equivalent (diferent conceptualment) que és el d’afegir.

La operación de sumar dos cantidades tiene un primer significado de unir, pero también tiene otro significado equivalente (diferente conceptualmente) que es el de añadir.

Elements que convé treballar / Elementos que conviene trabajar:

– Diferenciar la concepció de la suma com a operació binària (unir/combinar) front a la unitària (afegir) / Diferenciar la concepción de la suma como una operación binaria (unir/combinar) frente a la unitaria (añadir)

– Unir dos quantitats i comptar la quantitat total (unir) / Unir dos cantidades y contar la cantidad total (unir)

– Comptar a partir del primer sumand (afegir) / Contar a partir del primer sumando (añadir)

– Comptar a partir del major sumand (afegir) / Contar a partir del mayor sumando (añadir)

– Següent, anterior, sumes amb els dos sumands iguals / Siguiente, anterior, sumas con los dos sumandos iguales

– Descomposicions / Descomposiciones

– Arredoniment i compensació / Redondeo y compensación

ACTIVITAT PROPOSADA / ACTIVIDAD PROPUESTA

Agafem aleatòriament 3 cartes d’una baralla de cartes (la podem realitzar fàcilment si no en tenim disponible cap) i sumem els valors de cada carta. Representar l’operació de diferents maneres.

Cogemos aleatoriamente 3 cartas de una baraja de cartas (la podemos realizar fácilmente si no tenemos ninguna disponible) y sumamos los valores de cada carta. Representar la operación de diferentes maneras.

A continuació es proposa un exemple de realització / A continuación se propone un ejemplo de realización:

Si disposem d’una balança numèrica / Si disponemos de una balanza numérica:

També convé tindre els diferents elements de representació de manera simultània / También conviene tener los diferentes elementos de representación de manera simultánea:

Convé fer preguntes de l’estil següent / Conviene hacer preguntas del estilo siguiente:

Canvia el resultat si sumem en ordre diferent els valors de les cartes? Per què? / ¿Cambia el resultado si sumamos en orden diferente los valores de las cartas? ¿Por qué?

Algunes persones consideren (de manera completament equivocada) que les matemàtiques són simplement una qüestió de càlcul. Potser és una percepció natural, ja que la quantitat de temps invertida durant la seua educació en la part operativa bàsica (suma, resta, multiplicació i divisió) probablement va ser extensa, a més des d’un punt de vista de repetició d’algoritmes sense comprensió. Per sort, aquest fet està canviant, cosa que farà canviar amb el temps aquesta percepció, que està molt desviada del que són les matemàtiques.

Algunas personas consideran (de manera completamente equivocada) que las matemáticas son simplemente una cuestión de cálculo. Quizá es una percepción natural, ya que la cantidad de tiempo invertido durante su educación en la parte operativa básica (suma, resta, multiplicación y división) probablemente fue extensa, además desde un punto de vista de repetición de algoritmos sin comprensión. Por suerte, este hecho está cambiando, lo que hará cambiar con el tiempo esta percepción, que está muy desviada de lo que son las matemáticas.

El que es presenta a continuació és una proposta que intenta aconseguir la comprensió profunda dels conceptes matemàtics, de les operacions, utilitzant diferents models de representació i establint connexions robustes entre ells amb l’objectiu fonamental de potenciar el raonament matemàtic.

Lo que se presenta a continuación es una propuesta que intenta conseguir la comprensión profunda de los conceptos matemáticos, de las operaciones, utilizando diferentes modelos de representación y estableciendo conexiones robustas entre ellos con el objetivo fundamental de potenciar el razonamiento matemático.

La seqüència que es proposa (que no és tancada) és la següent:

La secuencia que se propone (que no es cerrada) es la siguiente:

1. Transformació i manipulació de materials (en una etapa inicial de l’entorn directe o inclús fent ús del propi cos) / Transformación y manipulación de materiales (en una etapa inicial del entorno directo o incluso haciendo uso del propio cuerpo)

2. Representació pictòrica de les transformacions / Representación pictórica de las tranformaciones

3. Representació numèrica (abstracta) de les transformacions / Representación numérica (abstracta) de las transformaciones

4. Introducció d’algoritmes relacionant-los amb els materials o dibuixos / Introducción de los algoritmos relacionándolos con los materiales o dibujos

5. Sistematització dels algoritmes / Sistematización de los algoritmos

Quan parlem dels reglets de Cuisenaire fem referència a un material molt interessant per tractar les operacions aritmètiques bàsiques amb els nombres naturals (suma, resta, multiplicació i divisió). A banda també és un material interessant per visualitzar i entendre l’ordre numèric, comparacions, descomposicions, introduir el sistema posicional decimal, relacionar les diferents operacions, etc.

Cuando hablamos de las regletas de Cuisenaire hacemos referencia a un material muy interesante para tratar las operaciones aritméticas básicas con los números naturales (suma, resta, multiplicación y división). A parte también es un material interesante para visualizar y entender el orden numérico, comparaciones, descomposiciones, introducir el sistema posicional decimal, relacionar las diferentes operaciones, etc.

El que anem a fer en primer lloc és presentar els diferents reglets en la següent imatge.

Lo que vamos a hacer en primer lugar es presentar las diferentes regletas en la siguiente imagen.

Com es pot observar, tenim 10 reglets diferents, cadascun d’ells d’un color diferent i d’una longitud concreta. Per exemple, el reglet que (habitualment) representa el 4 (el de color rosa) té una longitud equivalent a 4 vegades la del reglet que (habitualment) representa l’1 (el de color blanc) o 2 vegades la del reglet que (habitualment) representa el 2 (el de color roig). De fet, els que utilitzarem tenen cadascun d’ells la mateixa longitud en centímetres que el seu valor habitual.

Como se puede observar, tenemos 10 regletas diferentes, cada una de ellas de un color diferente y de una longitud concreta. Por ejemplo, la regleta que (habitualmente) representa el 4 (la de color rosa) tiene una longitud equivalente a 4 veces la de la regleta que (habitualmente) representa el 1 (la de color blanco) o 2 veces la de la regleta que (habitualmente) representa el 2 (la de color rojo). De hecho, los que utilizaremos tienen cada uno de ellos la misma longitud en centímetros que su valor habitual.

L’ús dels reglets anirà exposant-se en les diferents seccions. L’objectiu d’aquesta primera entrada és construir-los de manera senzilla amb materials comuns.

El uso de las regletas irá exponiéndose en las diferentes secciones. El objetivo de esta primera entrada es construirlos de manera sencilla con materiales comunes.

El que necessitarem serà un regle, tisores, colors i cartolina blanca (també podria ser paper, però convé un material un poc més resistent).

Lo que necesitaremos será una regla, tijeras, colores y cartulina blanca (también podría ser papel, pero conviene un material un poco más resistente).

El resultat abans de retallar podria ser paregut al de la següent imatge. Per cert, convindria fer-ne uns quants de cada tipus (sobre 10).

El resultado antes de recortar podría ser parecido al de la siguiente imagen. Por cierto, convendría hacer unos cuantos de cada tipo (sobre 10).

Ànim amb la construcció (si no els teniu ja). Potser caldrà invertir uns 20 o 30 minuts per fer-ne diversos de cada tipus.

Ánimo con la construcción (si no los tenéis ya). Quizá hará falta invertir unos 20 o 30 minutos para hacer varios de cada tipo.

En el vídeo que us deixe a continuació podeu veure un procediment molt curiós per poder realitzar un quadrat màgic de tamany 5×5. Com podreu observar, les coses poden ser molt senzilles quan coneixem un bon mètode per arribar a la solució.

Espere que us haja agradat. Ara ja podem dir que sabem fer quadrats màgics de 5×5 i de fet, de manera molt senzilla.

Aquesta és una entrada completament atípica que, potser per sort, es perdrà entre algunes de les coses prèvies escrites… però potser siga necessari saber que ahí estarà, “amagada”, per conéixer, probablement en un futur, les raons de l’inici d’un canvi. De no ser així, serà inclús una sort la seua desaparició.

Crec que me n’he adonat que ha sigut necessari entrar en un túnel per tornar al món terrenal. Deixar enrere la llum intensa, canalitzada junt a una vocació docent minvada per una frustració creixent (de diversos orígens), ha sigut una experiència dura, però potser aclaridora. Aquest serà el moment d’un canvi de feina o potser una reorientació necessària d’allò que, de moment, realitze rutinàriament i cada vegada amb menys passió.

He pogut observar que el problema és, en gran mesura, del transmissor (encara que no exclusivament). Les meues qualitats com a professor s’allunyen d’allò que sempre havia imaginat, arribant al punt de qüestionar allò que faig i sobretot com ho faig. Canviaria tantes coses,… potser no siga capaç, però per sort, crec que encara estic a temps de fer un canvi d’enfocament, potser un canvi apropiat per revertir la frustració. Necessite redefinir mètodes, modalitats organitzatives, continguts, relacions entre continguts, planificacions, itineraris d’aprenentatge, entendre i resoldre l’apropiat tractament de la diversitat, noves estratègies d’avaluació, estructuració de bancs de recursos, trobar la integració adequada de les TIC,… i moltíssimes altres coses més. No acabaria mai aquesta llista.

Quan pense sobre quines coses aporte o si sóc necessari en el procés de proporcionar un cert aprenentatge a aquelles persones que han d’estar presents durant les meues classes, veig que probablement sóc, en certa mesura, irrellevant (malgrat l’apreci de l’alumnat). Veig que sóc una peça d’un engranatge molt fàcil de substituir i també fàcil de millorar, però crec que encara estic a temps de reinventar-me. Tinc a l’abast diversos elements que possiblement em permetran realitzar aquest canvi.

Sempre havia pensat que la feina de professor de Matemàtiques era proporcionar les ferramentes adequades que permeteren als alumnes arribar al coneixement i crear-lo per ells mateix, explicar les raons del correcte funcionament i la pròpia construcció d’eixes ferramentes, buscar la creativitat en els procediments d’ús d’eixes ferramentes, inclús en la creació de noves ferramentes… potser massa ambiciós considerant que no proporcione la via adequada per afavorir eixos objectius, o potser no tan apropiada com pensava.

Quina és la solució i allò que requereix eixa solució? Probablement un esforç gegant, un temps molt extens que hauria de furtar a les persones properes, un temps tan valuós que probablement no m’agradaria perdre… però potser no tot està perdut, ja que no sóc un element únic i aïllat.

Potser siga necessari un període de buidar la ment i afrontar aquesta transició com una preparació per al que vindrà, un període de gran quantitat de feina, però potser un període esperançador… això sempre que, clar està, continue per ací.

Disculpes a aquells que heu arribat fins aquesta línia si la utilitat d’aquestes paraules és nul·la, ja que no sé si el meu sentir és justificat o inclús si escriure-ho per ací ha sigut apropiat…

He deixat en la secció Cangur uns vídeos amb les solucions de la prova de Nivell 1 de les Proves Cangur de 2016.

Quan tinga un poc més de temps intentaré pujar les de Nivell 2.

Si trobàreu algun error, per favor, comenteu-m’ho.

Aquest repte era molt curiós, ja que aparentment l’opció correcta era l’oferta B. Però les coses no sempre són tan senzilles com pareixen. Recordem les dues ofertes:

• Oferta de A: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader guanyem exactament 10 euros. Si l’enunciat és fals, guanyem o més de 10 euros o menys de 10 euros, però no 10 euros.
• Oferta de B: Hem de formular un enunciat. Si l’enunciat és vertader o fals, guanyem més de 10 euros.

Amb l’oferta B rebrem més de 10 euros siga vertader o fals, però podrien ser 10 euros i un cèntim. Per desgràcia no sabem exactament la quantitat. Per contra, amb l’oferta A podrem guanyar tants diners com vulguem, com ara veurem.

Si agafem l’oferta A i formulem un enunciat vertader, únicament guanyarem 10 euros, però com volem guanyar molt més, ens interessarà formular un enunciat fals.

Provem amb aquest enunciat:

“Ni vaig a guanyar 10 euros ni vaig a guanyar 100 milions d’euros”

És un enunciat vertader o fals? Si fóra vertader allò que diu hauria de ser cert, és a dir que no vaig a guanyar 10 euros i tampoc vaig a guanyar 100 milions d’euros, però ací tenim un problema, ja que si fóra cert hauríem de guanyar 10 euros, donat que hem elegit l’oferta A. Arribem en conseqüència a una contradicció i per tant l’enunciat és fals.

Com és fals, el que diu l’oferta A és que guanyarem una quantitat diferent a 10 euros, potser més o potser menys. Però ara pensem en el que diu l’enunciat, que ja sabem que és fals. Com diu que no vaig a guanyar 10 euros i que tampoc vaig a guanyar 100 milions d’euros l’única manera de fer que siga fals és que guanye 100 milions d’euros ja que el fet que no vaig a guanyar 10 euros és vertader (com indica l’oferta). En conclusió, guanyaré 100 milions d’euros.

I ara fixem-nos bé, podem canviar la quantitat de 100 milions d’euros per la quantitat que desitgem. I per tant podem guanyar tant com vulguem.

Ara ja sabeu, podeu jugar al joc de les ofertes amb la gent. I recordeu, no jugueu a allò que no domineu més enllà de la diversió, ja que com hem comentat, la majoria dels jocs no són tan senzills com pareixen.