Vídeos interessants: Vi Hart

Us passe un enllaç on podreu trobar vídeos sobre temes curiosos de matemàtiques. La majoria dels vídeos són molt interessants. Estan en anglés (em pareix que només el primer està traduït) però podeu posar subtítols per a entendre’ls millor.

Enllaç

L’autora dels vídeos s’anomena Vi Hart i té un canal en Youtube pareix ser que de molt èxit (alguns dels seus vídeos tenen milions de visites, de fet el vídeo d’Hexaflexagons té pràcticament 6 milions de visites). Es defineix com una matemúsica i la veritat és que dibuixa i canta molt bé, a més és prou peculiar.

Us anticipe que parla prou ràpid. Espere que us agraden.

Curiositats matemàtiques: Existeixen infinits nombres primers

Sabeu el que són els nombres primers?

Es defineixen com aquells nombres naturals distints del número 1 de manera que únicament tinguen com a divisors el número 1 i ells mateix. La resta de nombres naturals s’anomenen compostos, però el número 1 no es considera ni primer ni compost (fa prou temps enrere sí que es considerava primer, però a dia de hui ja no es considera per conveniència, ja que permet que els enunciats de moltes proposicions siguen més senzills, en particular el Teorema Fonamental de l’Aritmètica).

Si comenceu a calcular els nombres primers trobareu que són els següents:

2, 3, 5, 7, 11, 13, … i aniríem descobrint-ne més. De fet la següent imatge mostra els nombres primers menors que 100.

Nombres primers

Nombres primers

Però la pregunta és: quants nombres primers existeixen?

La resposta a aquesta pregunta és que són infinits i la primera demostració, que és la que us presente a continuació, és d’Euclides (matemàtic grec (325 aC – 265 aC) molt famós sobretot pels 13 llibres que componen l’obra Els Elements i que han sigut una referència obligatòria durant uns 2000 anys per a molts estudiants. De fet és el segon llibre més editat de la història):

Suposem que la quantitat de nombres primers fóra finita, per exemple, que tinguérem únicament k nombres primers. Si els anomenem des del més menut fins el major, podríem escriure’ls de la següent manera:

p1, p2, p3, …, pk (en realitat tindríem p1=2, p2=3, p3=5, …)

Ara construïm el nombre p1·p2·p3·…·pk+1, que no hauria de ser primer donat que no pertany a la llista dels nombres primers que hem suposat que existien.

Però fixem-nos, si dividim aquest nombre entre p1 no ens donarà una divisió exacta, tampoc si el dividim entre p2 i de fet tampoc si el dividim entre qualsevol dels nombres primers que havíem suposat que existien.

Per tant, acabem de crear un nombre que també hauria de ser primer si únicament existiren eixos k nombres primers. I com eixe nombre creat no està en la llista dels k nombres primers hem arribat a una contradicció, i podem concloure que la quantitat de nombres primers és infinita.

Nota important: La prova d’Euclides NO és un mètode per a generar nombres primers, de fet obtindre nombres primers molt grans és una tasca extremadament complicada i si poguérem conéixer un mètode per a obtindre ràpidament si un nombre és primer o no, podríem posar en risc la seguretat d’Internet, ja que es troba fonamentada en la factorització de nombres amb factors primers extremadament grans.

La mostra que la prova d’Euclides no genera sempre nombres primers es pot veure amb aquest exemple:

2·3·5·7·11·13+1 = 30 031

que no és primer, ja que és múltiple de 59 (59·509 = 30 031).

Fixeu-se que aquest fet no contradiu la prova d’Euclides, encara que inicialment ho parega.

Per cert, aquells que pensen que és fàcil veure si un nombre és o no és primer, que pensen si el següent senzill nombre és primer:

104 729

Supose que us serà impossible sense l’ajuda d’Internet. Imagineu ara un nombre que tinga 100 xifres, o un nombre de 100 000 xifres. Amb nombres tan grans ni tota la potència de càlcul de tots els ordinadors del món seria suficient per a realitzar-ho en un temps raonable. Imagineu si tinguérem un nombre amb un googol o amb un googolplex de xifres.

Espere que s’haja pogut entendre. En cas contrari ja m’ho comenteu i intentaré escriure-ho d’una manera més clara.

Curiositats matemàtiques: El tamany dels folis

Estem acostumats a escriure en folis que tenen un tamany determinat, i que sempre és fixe. Si calculeu les dimensions són 210mm x 297mm.

La qüestió és: Per què és així?

Es podria contestar simplement que es tracta d’unes mesures estàndard i que és així i punt, però probablement no ens quedem satisfets amb eixa resposta. Si ens anomenen que eixes mesures són les definides per la norma ISO 216, que prové de la norma DIN 476, potser ens aporte més informació, però ens quedem encara amb el dubte de per què eixes dimensions en particular.

El tamany d'un foli

Anem a intentar descobrir-ho :):

Els folis que nosaltres utilitzem pertanyen a la Serie A de la norma ISO 216 i molta gent coneix el format com a DIN A4. Però també podem conéixer altres formats com DIN A3, DIN A5, DIN A2, … (què significaran?).

La qüestió és que es va prendre com a format DIN A0 un full amb una superfície determinada, en concret \displaystyle 1 m^2 , i d’unes mesures amb la característica que si dobles el full per la meitat obtens de nou que les mesures del full estan en la mateixa proporció que les originàries, és a dir:

x=\mbox{ costat llarg }
y=\mbox{ costat curt }

\displaystyle \frac{x}{y} = \displaystyle \frac{y}{\frac{x}{2}}

Com podeu observar, tenim una equació amb dues incògnites. Però recordem que si estem tractant amb el DIN A0, la superfície ha de ser  1 m^2 , i per tant (costat llarg)·(costat curt) = 1 i ja tenim un sistema d’equacions amb dues equacions i dues incògnites i encara que no és un sistema lineal, és de fàcil resolució.

A aquells que intenteu resoldre’l, ací teniu les mesures dels diversos tamanys de la norma:

DIN

Curiositats matemàtiques: Googol vs Googolplex

Anem amb els nombres Googol i Googolplex.

Googol vs Googolplex

Googol vs Googolplex

1 Googol és, en el sistema decimal, la xifra 1 seguida de cent xifres 0.

Podries pensar en alguna quantitat física que supere a un Googol?

Pensem per exemple en el nombre d’àtoms de l’Univers conegut. Quants àtoms creus que conté? Més que 1 Googol?

Ara bé, si volem escriure’l desenvolupat, i tardem un segon per a escriure cada xifra, tardarem 101 segons, és a dir, podrem escriure’l en menys de 2 minuts.

Passem ara al número conegut com a Googolplex, que és la xifra 1 seguida d’un Googol de xifres 0.

Quant de temps necessitaries per escriure’l si tardes un segon per a cada xifra?

Quants googols cabrien en un googolplex?

Si intentes contestar aquestes preguntes veuràs que un googolplex és extremadament gegant, però de totes maneres, insignificant si el comparem amb el concepte de l’infinit (inclús tractant-se del menor dels infinits).

Per a qualsevol dubte, no dubteu en comentar.