El teorema de Futurama

Imagineu que teniu una màquina que ofereix la possibilitat d’intercanviar la ment de dues persones, fent que en el cos de la primera persona estiga la ment de la segona i en el cos de la segona la ment de la primera.

La veritat és que seria una cosa molt interessant. Però ara bé, si ens digueren que quan dos cossos determinats han utilitzat la màquina, no poden tornar a utilitzar-la de nou com a parella, seria impossible utilitzar la màquina tenint la seguretat que podrem tornar a tindre totes les ments que l’hagen utilitzada en els seus corresponents cossos? Seria interessant pensar-ho abans d’utilitzar-la 🙂

El vídeo que us presente a continuació, d’un canal de Youtube molt recomanable (Mathologer) us pot indicar la resposta.

La Paradoxa de Banach-Tarski

Fa poc vaig veure un vídeo molt interessant sobre una de les paradoxes més curioses que existeixen, i que s’anomena Paradoxa de Banach-Tarski.

El que diu la Paradoxa és que podem convertir una esfera d’un determinat radi R en dues esferes idèntiques del mateix radi R, però per a aconseguir-ho només reorganitzem els punts de la primera esfera.

La demostració explicada més clara que he trobat està en un vídeo (en anglés) que vaig veure fa res i que us presente a continuació. De tota manera, com tractar amb el concepte d’infinit és prou “delicat”, ja siga els diferents tipus d’infinit o la igualtat de “tamany” (cardinal) de conjunts infinits que inicialment poden paréixer diferents, intentaré fer un vídeo en breu explicant aquestes qüestions.

Us recomane que mireu el vídeo a totes aquelles persones amb curiositat per aquestes coses.

Curiositats: Música vs Alzheimer

Una cosa està clara:

La música està lligada a les emocions, i potser les emocions més profundes estan associades amb la música. La vida, en certa mesura, quan ja comença a arribar a la seua fi, és un cúmul de records, i molts d’ells provenen d’escoltar allò que ens transporta a situacions ja viscudes.

Aquest article que us enllace a continuació és probablement una raó afegida a les múltiples que fan que una persona puga desitjar dedicar-se a la música:

Clica ací

L’Alzheimer és probablement una de les pitjors enfermetats que existeixen hui en dia, amb un gran pesar per a les persones que rodegen a la persona afectada. Qui sap si algun dia es podrà acabar amb ella? Potser la passió per la música siga un bon començament…

 

Curiositats matemàtiques: Codificant missatges

Des de fa molt de temps ha sigut necessari en molts àmbits transmetre un cert missatge que únicament entenguen l’emissor i el receptor. Però la qüestió és, només serà capaç d’entendre el missatge el receptor? o potser algú més que escolte el missatge podrà reconstruir la informació originària?

Al llarg del temps els sistemes per a codificar s’han fet més complexos, potser fins el punt en què és pràcticament impossible descobrir el missatge originari si no es disposa d’informació addicional sobre el tipus de codificació o potser sobre el tema del missatge.

Un cas històric de gran rellevància referent a la codificació és la màquina ENIGMA, utilitzada durant la segona guerra mundial. Els missatges que es transmetien utilitzant-la no es podien descobrir si no es disposava de la clau de codificació. Una pel·lícula molt interessant referent a la persona que probablement va canviar la història s’anomena “The Imitation Game”, on es presenta la vida d’Alan Turing, una de les ments més brillants de la història.

De tota manera existeixen maneres més senzilles de codificar. A continuació us presente una manera senzilla de codificar on cada lletra es substitueix per una altra. La qüestió en aquest cas és que si sabem de manera orientativa quines són les lletres que en general més es repeteixen o el percentatge d’aparició orientatiu de cada lletra, probablement podrem recuperar els missatges originals.

A veure qui és capaç de descobrir les tres cites següents (acaben amb el nom de l’autor) on s’ha utilitzat per a les tres els mateixos canvis de lletres (per cert, les cites estan en castellà):

Az jaihake na zr anliriwec aj acjadrh r zr tacka na krz brcahr gla ce ja nac ilackr na gla ajkrc rfhacnwacne vrjkr gla aj nabrjwrne krhna. Vrhezn Altaca Antahkec

Jwabfha gla acjadaj acjadr r zr maq r nlnrh na ze gla acjadaj. Xeja Ehkatr p Trjjak

Ilrcne zrj zapaj na zr brkabrkwir ja haswahac r zr harzwnrn ce jec iwahkrj p ilrcne jec iwahkrj ce ja haswahac r zr harzwnrn. Rzuahk Awcjkawc

Com a orientació us diré que en castellà, el percentatge típic d’aparició de cada lletra és en general el següent:

e- 16,78%       r – 4,94%      y – 1,54%      j – 0,30%

a – 11,96%      u – 4,80%      q – 1,53%     ñ – 0,29%

o – 8,69%        i – 4,15%       b – 0,92%     z – 0,15%

l – 8,37%          t – 3,31%       h – 0,89%    x – 0,06%

s – 7,88%          c – 2,92%     g – 0,73%     k – 0,00%

n – 7,01%         p – 2,776%    f – 0,52%     w – 0,00%

d – 6,87%         m – 2,12%     v – 0,39%

De tota manera aquestos percentatges no serveixen estrictament per a les oracions anteriors, però sí que són relativament orientatius. A aquesta manera d’intentar descodificar missatges s’anomena Anàlisi de freqüències.

Curiositats matemàtiques: Un heptàgon amb regla i compàs?

Fa res vaig fer un viatge a Lorca i vaig poder observar en un hotel la següent imatge, que em va resultar prou curiosa, ja que es tracta d’una figura clarament relacionada amb l’heptàgon regular. Ara la qüestió que us podríeu fer és: “Per què és una figura curiosa?”. Intentaré contestar a continuació.

IMG_20150503_113326

És molt típic en dibuix tècnic dibuixar polígons regulars, com el triangle equilàter, el quadrat, l’hexàgon regular i l’octàgon regular, que realment resulten senzills de dibuixar amb regla i compàs.

Quan intentem dibuixar un pentàgon regular el mètode que ens mostren ja no pareix tan senzill (encara que tampoc és molt difícil) ja que requereix d’una sèrie de passos que en principi podríem no entendre. La qüestió que ens podríem plantejar és la següent: “Per què fem eixos passos?“. La resposta té una estreta relació amb el nombre auri, que és \frac{1+\sqrt{5}}{2} i si us fixeu en els passos una de les longituds que s’intenta trobar és \frac{\sqrt{5}}{2} (suposant que el costat inicial que ens donen és la unitat). El que ens queda per a entendre el procediment és saber que la diagonal d’un pentàgon regular de costat unitat és precisament el nombre auri, cosa que es pot demostrar fàcilment utilitzant el Teorema de Tales, que és molt senzill.

Però quan intentem fer un heptàgon regular el mètode típic ja és diferent, pareix prou més el·laborat i inclús potser no arribem a entendre la raó per la qual funciona. De fet podríem qüestionar-nos si el mètode és exacte o si en realitat estem fent un heptàgon regular de manera aproximada. Per tant la qüestió podria ser la següent: “És possible realitzar un heptàgon regular únicament amb regla i compàs?“.

La resposta a aquesta pregunta és ja coneguda des de fa prou temps i és la següent: “No es possible“. Tampoc és possible realitzar un eneàgon regular i altres construccions (entre les que caldria destacar la quadratura del cercle, la trisecció de l’angle i la duplicació del cub), però un dels majors èxits del gran Matemàtic Gauss (conegut com al Príncep de les Matemàtiques) va ser veure que el cas de l’heptadecàgon regular sí era possible, cosa que certament no pareix massa important, i més comparant-ho amb totes les coses que Gauss va aportar, que són moltíssimes i de molt alt nivell. Però la realitat és que Gauss va trobar la forma de realitzar l’heptadecàgon regular amb regla i compàs en 1796, quan només tenia 19 anys i va suposar probablement l’avanç més important en 2000 anys respecte a l’estudi dels polígons regulars. Per cert, pareix que gràcies a aquest descobriment va elegir estudiar matemàtiques en lloc de filosofia, cosa que va suposar un fet molt important per a les Matemàtiques.

Ací us mostre la construcció de l’heptadecàgon regular:

Curiositats matemàtiques: L’aniversari de Cheryl

En aquesta entrada vaig a parlar d’un problema matemàtic que m’han comentat unes alumnes i que pareix que està rodant ara per Internet.

El problema consisteix en trobar la data de l’aniversari de Cheryl entre una llista de possibilitats i on dues persones (Albert i Bernard) únicament disposen d’informació parcial.

És un problema que es trobaria dins d’una branca que podríem denominar com de “Coneixement comú”, que a partir de posar informació en comú, però sense fer-ho de forma explícita, podem obtindre dades importants que ens permeten resoldre el problema.

Us he fet un vídeo amb la solució. Espere que s’entenga correctament. Us l’enllace a continuació.

 
Per cert, si a algú li interessa, hi ha un llibre denominat “Locos por las Matemáticas” de l’autor Ian Stewart que en el primer capítol fa menció d’aquests tipus de problemes, encara que presenten una dificultat un poc superior (però tampoc molta més) al problema de l’aniversari de Cheryl.