La solució al repte del circuit és que sempre podrem seleccionar un punt de partida del circuit i donar una volta sencera, independentment de la distribució aleatòria de bidons de gasolina.

Demostració:

Agafem com a punt de partida un punt qualsevol on es trobe un bidó de gasolina, que anomenarem bidó 1. En el sentit de recorregut anirem anomenant la resta de bidons com a bidó 2, bidó 3, etc.

És probable que el punt de partida no ens permeta donar la volta sencera, però de tota manera dibuixarem la gràfica de la quantitat de gasolina que tenim (considerarem també possible una quantitat negativa) en funció del recorregut, suposant que partim del bidó 1 (la gràfica és d’un cas particular que ens permetrà entendre quin és el punt de partida que hauríem d’agafar com a inici).

En vertical tenim la gasolina disponible en cada moment. La línia roja és el nivell 0 de gasolina suposant que eixim des del punt on es troba el bidó 1. Com podem observar, el pendent de cada tram és igual, ja que suposem que el consum és uniforme en funció de la distància. D’una altra banda també tenim que les rectes verticals en gris representen la quantitat de gasolina de cada bidó.

En el exemple de la figura es veu que no podríem arribar ni al segon bidó, ja que ens quedaríem sense gasolina abans (estem per baix de la línia roja). No obstant, és segur que tindrem una fita inferior que no sobrepassarem (la línia verda). Si agafem com a punt de partida el bidó que hem marcat amb un punt verd (en aquest cas és el 3) podrem fer la volta sencera sense problemes. La qüestió és, per tant, seleccionar com a punt de partida el bidó on tenim l’ínfim de la funció, que sempre existeix.

Espere que s’haja entés correctament.