Dia: 21/12/2015

by

El principi d’inducció matemàtica

Una de les “ferramentes” més importants dels nombres naturals, és el principi d’inducció matemàtica.

Probablement es tracta del mecanisme de demostració més potent per a l’obtenció de fórmules on intervenen els nombres naturals. Inclús la definició dels nombres naturals necessita d’aquest principi, i per tant, podríem dir que més que una ferramenta és una propietat dels nombres naturals, potser la propietat fonamental dels nombres naturals.

I què és exactament aquest principi?

Suposem que tenim una determinada propietat que anomenarem P, que depén d’un determinat valor natural n, cosa que expressarem com P(n). Anem a exigir que la propietat, per a cada valor natural que elegim, siga o vertadera o falsa.

Anem a posar un exemple d’una determinada propietat:

P(n): L’última xifra del nombre natural n és 3

P(1) seria falsa.

P(2) també seria falsa.

P(3) seria vertadera, i també serien vertaderes P(13), P(23), P(33),…

Clarament aquest exemple tracta una propietat que no és certa per a tots els nombres naturals.

Ara bé, com podríem demostrar que una determinada propietat és vàlida per a tots els nombres naturals? Hauríem de provar amb tots els nombres naturals? La resposta es troba en el principi d’inducció matemàtica, que consisteix en les següents dues condicions:

  • Tenim una propietat que és certa per al valor 1, és a dir, P(1) és certa.
  • Si la propietat és certa per a un valor determinat, també serà certa per al següent valor, és a dir, si P(k) és certa, també serà certa P(k+1).

Si tenim aquestes dues condicions, tindrem que la propietat és certa per a tots els nombres naturals.

*Una variant típica per a demostrar una propietat referent als nombres naturals a partir d’un natural determinat, que denominarem a, només requeriria modificar la primera condició del principi d’inducció per a confirmar que P(a) és certa.

Anem amb un exemple senzill:

P(n): La suma de 1+2+…+n és igual a n·(n+1)/2

Per a demostrar aquesta propietat hem de comprovar les dues condicions del principi d’inducció.

P(1) = 1 = 1·(1+1)/2. Efectivament tenim 1 = 1 que és cert.

Ara haurem de veure que suposant que 1+2+…+k = k·(k+1)/2 siga cert, també ho serà que 1+2+…+k+(k+1) = (k+1)·(k+2)/2.

I això és molt senzill de veure, ja que:

1+2+…+k+(k+1) = k·(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)·[k/2 +1] = (k+1)·(k+2)/2

Per tant acabem de veure que aquesta propietat és certa per a tots els nombres naturals.

Podeu provar multitud de fórmules utilitzant el principi d’inducció. A continuació us propose una propietat per a practicar. Demostrar que 3^(4n) + 9 és un múltiple de 10.