Solució al dinové repte: Àrea d’una figura senzilla

Us recorde l’enunciat a continuació:

El repte aquesta vegada consisteix en calcular l’àrea d’una senzilla figura que us mostre a continuació:

AreaTriangle

Aparentment és senzilla, ja que tenim un triangle que queda delimitat per la diagonal d’unquadrat de costat 10 metres i per les dues línies que van des del vèrtex del quadrat fins els punts mitjans dels dos costats oposats al vèrtex.

Si únicament volem utilitzar els mínims recursos, és a dir, sense utilitzar trigonometria i sense utilitzar coordenades i vectors, com podrem calcular l’àrea?. Unes ferramentes molt potents són el Teorema de Tales i el Teorema de Pitàgores. A veure qui ho pot aconseguir.

Solució

Si fem dos segments nous que uneixen els punts mitjos dels costats dels quadrat gran, obtenim la següent figura:

AreaTriangleSol

Com es pot observar en la figura, apareixen tres triangles semblants, de manera que pel Teorema de Tales, el triangle ombrejat té una base que mesurarà 2/3 parts de la mesura de la base del triangle més gran (és a dir, la longitud g és 2/3 parts de la longitud h en la figura).

Ara bé, la longitud h es pot calcular utilitzant el Teorema de Pitàgores, ja que és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 5 m. Calculant, h mesurarà \sqrt{50} m i per tant g mesurarà 2\sqrt{50}/3 m.

L’altura del triangle ombrejat és la meitat de la diagonal del quadrat, que també podem calcular aplicant el Teorema de Pitàgores. Aquesta altura té un valor de 5\sqrt{2} m.

L’àrea serà per tant:

\frac{2\sqrt{50}/3 \cdot 5\sqrt{2}}{2}=\frac{50}{3} m^2

Espere que s’haja entés correctament.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s