Dia: 22/11/2015

by

Solució al vint-i-dosé repte: Quants nombres hi ha?

Us recorde l’enunciat del repte a continuació:

Anem a suposar que tenim una caixa infinitament gran on podem anar introduint diferents nombres naturals.

Començarem introduint els números 1, 2 i 3, però després traurem el 1. Ara tenim dosnombres dins de la caixa {2,3}.

Posteriorment introduirem els números 4, 5 i 6, però després traurem el 2. Ara tenim quatrenombres dins de la caixa {3, 4, 5, 6}.

Seguirem amb la mateixa pauta, és a dir, posarem els números 7, 8 i 9, i després llevarem el 3, quedant ara sis nombres dins de la caixa {4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Com podem observar, en cada pas tenim dos nombres més que en l’anterior.

La pregunta és la següent:

Si seguim aquest procediment de manera indefinida, quants nombres quedaran al final dins de la caixa?

Solució

Aquest repte és molt curiós, ja que encara que a cada instant que passa tenim una quantitat major de nombres en la caixa, si repetim el procés de manera indefinida, al “final” no quedarà ningun nombre en la caixa.

De fet, si uno pensa en qualsevol nombre, abans o després quedarà fora de la caixa. És a dir, la caixa es quedarà completament buida.

by

Solució al vint-i-uné repte: Un desig impossible?

Us recorde l’enunciat del vint-i-uné repte:

Una cosa està clara:

Si desitgem pintar una superfície de dimensions infinites, no tindrem suficient pintura per cobrir-la.

Ara bé, si la superfície és finita i volem pintar-la amb una fina capa de pintura, no tindrem problema per a aconseguir la pintura i cobrir-la completament (imaginem una superfície rectangular amb unes dimensions finites, per exemple amb una mesura de 10 metres de base i 4 metres d’altura).

Però és completament segur que seria impossible cobrir una superfície infinita amb pintura?

Vaig a proposar-vos un exemple per si em podeu explicar el que ocorre:

Cubos

Inicialment tenim una habitació en forma de cub de costat 2 metres i per tant un volum de 8 metres cúbics. Si només volem pintar la cara superior, és a dir el sostre, haurem de pintar una superfície de 4 metres quadrats, cosa que realment no requerirà molta pintura.

Anem a modificar l’habitació procedint de la següent manera, farem que l’altura siga la meitat i que l’amplària es duplique, mantenint la longitud d’un costat. És a dir, hem transformat el cub en un ortoedre (com una caixa de sabates) amb unes dimensions de 2 metres, 4 metres i 1 metre. Com podem observar, el volum de la nova habitació es manté en 8 metres cúbics. Ara bé, si només volem pintar la cara superior necessitarem el doble de pintura que abans, ja que ara el nou sostre té 8 metres quadrats.

Si de nou tornem a fer la meitat de l’altura i dupliquem l’amplària ara l’ortoedre tindria unes dimensions de 2 metres, 8 metres i 0,5 metres. De nou el volum es mantindria en 8 metres cúbics però ara la cara superior tindria 16 metres quadrats, i per tant necessitaríem quatre vegades més pintura que en el cas inicial.

Podem continuar aquest procés indefinidament, de manera que arribarà un moment en què ni amb tota la pintura del món podríem cobrir la superfície superior, ja que es duplica indefinidament.

Ara bé, també podríem pensar en omplir l’ortoedre de pintura (amb 8 metres cúbics de pintura tindrem prou) i en eixe cas totes les cares quedarien pintades.

Potser d’aquesta manera el desig es fa possible, o seria només un somni poder aconseguir-ho?

Solució

El problema d’aquesta espècie de paradoxa és únicament la relació entre la realitat i un model matemàtic que intenta representar-la. En la realitat, pintar una superfície requereix un cert volum de pintura, ja que quan pintem una superfície ho fem amb una determinada capa de pintura de grossor major que 0, però en el model matemàtic podem pintar qualsevol superfície (inclús infinita) amb una quantitat de pintura nul·la.

En la realitat és probable que el desig no siga possible, però en el món de les Matemàtiques sí que ho és.

by

Solució al dinové repte: Àrea d’una figura senzilla

Us recorde l’enunciat a continuació:

El repte aquesta vegada consisteix en calcular l’àrea d’una senzilla figura que us mostre a continuació:

AreaTriangle

Aparentment és senzilla, ja que tenim un triangle que queda delimitat per la diagonal d’unquadrat de costat 10 metres i per les dues línies que van des del vèrtex del quadrat fins els punts mitjans dels dos costats oposats al vèrtex.

Si únicament volem utilitzar els mínims recursos, és a dir, sense utilitzar trigonometria i sense utilitzar coordenades i vectors, com podrem calcular l’àrea?. Unes ferramentes molt potents són el Teorema de Tales i el Teorema de Pitàgores. A veure qui ho pot aconseguir.

Solució

Si fem dos segments nous que uneixen els punts mitjos dels costats dels quadrat gran, obtenim la següent figura:

AreaTriangleSol

Com es pot observar en la figura, apareixen tres triangles semblants, de manera que pel Teorema de Tales, el triangle ombrejat té una base que mesurarà 2/3 parts de la mesura de la base del triangle més gran (és a dir, la longitud g és 2/3 parts de la longitud h en la figura).

Ara bé, la longitud h es pot calcular utilitzant el Teorema de Pitàgores, ja que és la hipotenusa d’un triangle rectangle de catets 5 m. Calculant, h mesurarà \sqrt{50} m i per tant g mesurarà 2\sqrt{50}/3 m.

L’altura del triangle ombrejat és la meitat de la diagonal del quadrat, que també podem calcular aplicant el Teorema de Pitàgores. Aquesta altura té un valor de 5\sqrt{2} m.

L’àrea serà per tant:

\frac{2\sqrt{50}/3 \cdot 5\sqrt{2}}{2}=\frac{50}{3} m^2

Espere que s’haja entés correctament.

by

Solució al tretzé repte: Informació redundant

Us recorde l’enunciat del tretzé repte, que podeu veure clicant ací:

1. Imagineu que trobem un NIF amb el següent número i lletra:

200_0123K on el guionet baix és una xifra que s’ha borrat. Quina xifra podria ser?

2. Si el número de DNI és de 8 xifres, és possible trobar algun DNI on al variar una única xifra tinga la mateixa lletra? (és a dir, que amb dos valors diferents en una determinada xifra del DNI tingam la mateixa lletra). Seria possible que posant tres valors distints en una determinada xifra s’obtinga la mateixa lletra? I si el DNI fóra de 20 xifres, seria possible?

Solució:

Per a resoldre la primera qüestió, únicament hem de saber que la lletra K correspon a un residu de 21 quan fem la divisió 200_0123:23

És senzill observar que únicament si posem un 3 on es troba el guionet, el residu de la divisió dóna 21. Per tant la solució és 3.

Per a la segona qüestió pensem en el següent fet:

Variar qualsevol xifra del DNI és equivalent a variar el número de DNI en a·10^n, on a és una xifra de 1 a 9 i n és un valor enter des de 0 fins a 7. D’una altra banda sabem que 10^n no és múltiple de 23 per a qualsevol valor de n natural, i per tant tampoc serà múltiple de 23 qualsevol quantitat del tipus a·10^n, on a és una xifra de 1 a 9 i n és un valor enter des de 0 fins a 7 (tampoc ho seria per a qualsevol n natural).

En conseqüència, tindrem que variar una única xifra del DNI modificarà la seua lletra, inclús si el DNI tinguera moltíssimes més xifres. Una altra cosa seria variar més d’una xifra, cosa que sí podria proporcionar la mateixa lletra, ja que eixa variació sí que podria ser un múltiple de 23.

Espere que s’haja entés correctament.