Recordem el problema:

Tenim a una jove intèrpret que és clarament una promesa de futur, inclús alguns creuen que ja podria rivalitzar amb els millors intèrprets del món.

Com estaria bé comprovar la seua capacitat, s’ha convidat a un dels millors intèrprets del món per a fer una competició. No obstant, també hi ha un altre intèrpret que vol participar (encara que pareix ser que és prou fluixet).

Per tant tenim a tres participants, que anomenarem com segueix:

– I: intèrpret promesa.

– S: súper intèrpret

– F: fluixet

La prova només està pensada per a la intèrpret promesa, i per tant ella haurà de triar contra qui competir tocant tres obres diferents. Una vegada ha elegit les obres, les haurà de tocar elegint a un competidor de manera alternada entre el súper intèrpret i el fluixet, és a dir, té dues opcions:

– La primera obra contra S, la segona contra F i la tercera contra S.

– La primera obra contra F, la segona contra S i la tercera contra F.

Ara bé, per a guanyar la competició, ella hauria de ser la guanyadora (decidit per un jurat imparcial) de com a mínim dues obres seguides.

Quina seria la millor opció per a triar si ella vol guanyar la competició?

Resposta:

Les possibles eleccions de la jove intèrpret serien:

Opció A: Primer contra S, després contra F i finalment contra S, cosa que suposaria dos enfrontaments contra S, probablement un interessant repte.

Opció B: Primer contra F, després contra S i finalment contra F. Pareix inicialment que aquesta opció és més senzilla, ja que només suposa un enfrontament contra S, però veurem a continuació que no és la millor opció.

Suposarem que la probabilitat de que la intèrpret guanye a F és de 0,98 i que la probabilitat de que la intèrpret guanye a S és de 0,45 (realment el nivell és pràcticament equivalent, ja que l’evolució de la jove intèrpret és de tal magnitud que el súper intèrpret ja la considera millor que ell, probablement sempre l’havia considerada millor que ell).

Calculem la probabilitat de que guanye I. La qüestió és que com ha de guanyar com a mínim dos enfrontaments, tenim tres possibilitats:

– Guanya el primer i el segon, i perd el tercer.

– Perd el primer i guanya el segon i el tercer.

– Guanya tots els enfrontaments.

Per tant, en el cas de l’opció A la probabilitat de que guanye I és:

P(guanya I) = 0,45·0,98·(1-0,45) + (1-0,45)·0,98·0,45 + 0,45·0,98·0,45 = 0,68355

En el cas de l’opció B tindríem:

P(guanya I) = 0,98·0,45·(1-0,98) + (1-0,98)·0,45·0,98 + 0,98·0,45·0,98 = 0,44982

Com podem observar, l’opció A és millor. Ara ho demostrarem en general, utilitzant en lloc dels valors 0,45 i 0,98 uns valors que podríem anomenar p (entre 0 i 0,5) i q (entre 0,5 i 1) respectivament i obtindríem:

Opció A: P(guanya I) = pq(1-p) + (1-p)qp + pqp = (2-p)qp

Opció B: P(guanya I) = qp(1-q) + (1-q)pq + qpq = (2-q)qp

Clarament la probabilitat de l’opció A és un valor major que la de l’opció B.