Solució al dihuité repte: Tan gran com siga possible

Us recorde que en aquest repte l’objectiu era que amb tres símbols no repetits intentàrem representar el nombre més gran possible.

El problema es va tractar en el blog de Matifutbol, que està molt bé. I l’entrada concreta que parla d’aquest problema es troba clicant ací.

Us comente la solució a continuació:

La solució és:

8^9!

que podeu veure calculat clicant ací.

Tenim per tant un nombre de més de mil milions de xifres (si utilitzem el nostre sistema decimal). És tan gran que resulta difícil d’imaginar. Penseu per exemple que podem escriure una xifra cada segon, per tant, necessitaríem més de mil milions de segons per a escriure’l. Passeu a anys eixa quantitat i veureu que necessitaríeu més de 30 anys per a escriure’l (si no descansem ni un segon durant eixos anys). Resulta curiós que únicament amb tres símbols arribem a una quantitat tan gran.

De tota manera aquest nombre és molt inferior a un Googolplex, que ja vam comentar ací. I si ja entrem amb el concepte d’infinit, només ens queda veure que qualsevol quantitat, per gran que siga, resulta insignificant en comparació.

Reptes en “El País”

Comencen a aparéixer reptes setmanals en el diari “El País”. No són massa complicats i no requereixen coneixements matemàtics especials per a ser resolts.

Fa un temps em van comentar si podia posar un llistat de problemes similars al de l’Aniversari de Cheryl. En breu intentaré posar una llista amb diversos problemes d’eixe estil.

De moment a aquells que us interessen aquests tipus de reptes, podeu intentar qualsevol dels que us he anat proposant (intentaré seguir posant-ne cada setmana) o si ho preferiu, els que us acabe de comentar, que podeu trobar ací:

Clica ací

Curiositats: Música vs Alzheimer

Una cosa està clara:

La música està lligada a les emocions, i potser les emocions més profundes estan associades amb la música. La vida, en certa mesura, quan ja comença a arribar a la seua fi, és un cúmul de records, i molts d’ells provenen d’escoltar allò que ens transporta a situacions ja viscudes.

Aquest article que us enllace a continuació és probablement una raó afegida a les múltiples que fan que una persona puga desitjar dedicar-se a la música:

Clica ací

L’Alzheimer és probablement una de les pitjors enfermetats que existeixen hui en dia, amb un gran pesar per a les persones que rodegen a la persona afectada. Qui sap si algun dia es podrà acabar amb ella? Potser la passió per la música siga un bon començament…

 

Richard Feynman

Ací us enllace uns vídeos sobre Richard Feynman (11 de maig de 1918 – 15 de febrer de 1988), un físic diferent realment espectacular i probablement una inspiració per a molta gent.

– En primer lloc un documental sobre la seua vida, comentada per les persones que el coneixien:

Clica ací

– En segon lloc, la seua increïble visió sobre coses quotidianes, com el foc, l’electricitat, … :

Clica ací

Espere que us agrade.

Vint-i-uné repte: Un desig impossible?

Una cosa està clara:

Si desitgem pintar una superfície de dimensions infinites, no tindrem suficient pintura per cobrir-la.

Ara bé, si la superfície és finita i volem pintar-la amb una fina capa de pintura, no tindrem problema per a aconseguir la pintura i cobrir-la completament (imaginem una superfície rectangular amb unes dimensions finites, per exemple amb una mesura de 10 metres de base i 4 metres d’altura).

Però és completament segur que seria impossible cobrir una superfície infinita amb pintura?

Vaig a proposar-vos un exemple per si em podeu explicar el que ocorre:

Cubos

Inicialment tenim una habitació en forma de cub de costat 2 metres i per tant un volum de 8 metres cúbics. Si només volem pintar la cara superior, és a dir el sostre, haurem de pintar una superfície de 4 metres quadrats, cosa que realment no requerirà molta pintura.

Anem a modificar l’habitació procedint de la següent manera, farem que l’altura siga la meitat i que l’amplària es duplique, mantenint la longitud d’un costat. És a dir, hem transformat el cub en un ortoedre (com una caixa de sabates) amb unes dimensions de 2 metres, 4 metres i 1 metre. Com podem observar, el volum de la nova habitació es manté en 8 metres cúbics. Ara bé, si només volem pintar la cara superior necessitarem el doble de pintura que abans, ja que ara el nou sostre té 8 metres quadrats.

Si de nou tornem a fer la meitat de l’altura i dupliquem l’amplària ara l’ortoedre tindria unes dimensions de 2 metres, 8 metres i 0,5 metres. De nou el volum es mantindria en 8 metres cúbics però ara la cara superior tindria 16 metres quadrats, i per tant necessitaríem quatre vegades més pintura que en el cas inicial.

Podem continuar aquest procés indefinidament, de manera que arribarà un moment en què ni amb tota la pintura del món podríem cobrir la superfície superior, ja que es duplica indefinidament.

Ara bé, també podríem pensar en omplir l’ortoedre de pintura (amb 8 metres cúbics de pintura tindrem prou) i en eixe cas totes les cares quedarien pintades.

Potser d’aquesta manera el desig es fa possible, o seria només un somni poder aconseguir-ho?

Una cita curiosa i peculiar d’Albert Einstein que pot proporcionar una guia per a entendre la paradoxa és la següent:

“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad no son ciertas y cuando son ciertas no se refieren a la realidad”.

Ànim i sort.

Curiositats matemàtiques: Codificant missatges

Des de fa molt de temps ha sigut necessari en molts àmbits transmetre un cert missatge que únicament entenguen l’emissor i el receptor. Però la qüestió és, només serà capaç d’entendre el missatge el receptor? o potser algú més que escolte el missatge podrà reconstruir la informació originària?

Al llarg del temps els sistemes per a codificar s’han fet més complexos, potser fins el punt en què és pràcticament impossible descobrir el missatge originari si no es disposa d’informació addicional sobre el tipus de codificació o potser sobre el tema del missatge.

Un cas històric de gran rellevància referent a la codificació és la màquina ENIGMA, utilitzada durant la segona guerra mundial. Els missatges que es transmetien utilitzant-la no es podien descobrir si no es disposava de la clau de codificació. Una pel·lícula molt interessant referent a la persona que probablement va canviar la història s’anomena “The Imitation Game”, on es presenta la vida d’Alan Turing, una de les ments més brillants de la història.

De tota manera existeixen maneres més senzilles de codificar. A continuació us presente una manera senzilla de codificar on cada lletra es substitueix per una altra. La qüestió en aquest cas és que si sabem de manera orientativa quines són les lletres que en general més es repeteixen o el percentatge d’aparició orientatiu de cada lletra, probablement podrem recuperar els missatges originals.

A veure qui és capaç de descobrir les tres cites següents (acaben amb el nom de l’autor) on s’ha utilitzat per a les tres els mateixos canvis de lletres (per cert, les cites estan en castellà):

Az jaihake na zr anliriwec aj acjadrh r zr tacka na krz brcahr gla ce ja nac ilackr na gla ajkrc rfhacnwacne vrjkr gla aj nabrjwrne krhna. Vrhezn Altaca Antahkec

Jwabfha gla acjadaj acjadr r zr maq r nlnrh na ze gla acjadaj. Xeja Ehkatr p Trjjak

Ilrcne zrj zapaj na zr brkabrkwir ja haswahac r zr harzwnrn ce jec iwahkrj p ilrcne jec iwahkrj ce ja haswahac r zr harzwnrn. Rzuahk Awcjkawc

Com a orientació us diré que en castellà, el percentatge típic d’aparició de cada lletra és en general el següent:

e- 16,78%       r – 4,94%      y – 1,54%      j – 0,30%

a – 11,96%      u – 4,80%      q – 1,53%     ñ – 0,29%

o – 8,69%        i – 4,15%       b – 0,92%     z – 0,15%

l – 8,37%          t – 3,31%       h – 0,89%    x – 0,06%

s – 7,88%          c – 2,92%     g – 0,73%     k – 0,00%

n – 7,01%         p – 2,776%    f – 0,52%     w – 0,00%

d – 6,87%         m – 2,12%     v – 0,39%

De tota manera aquestos percentatges no serveixen estrictament per a les oracions anteriors, però sí que són relativament orientatius. A aquesta manera d’intentar descodificar missatges s’anomena Anàlisi de freqüències.

Pàgines d’ESO i Batxillerat

He llevat les pàgines d’ESO i Batxillerat.

Intentaré, en la mesura que puga, reestructurar els continguts i posar materials que puguen ser d’utilitat. Probablement l’estructura canvie fent que no siguen pàgines de nivells educatius concrets, sinó pàgines d’àrees temàtiques, com per exemple Àlgebra, Geometria, Probabilitat, Estadística, Anàlisi, etc. De tota manera, en cadascuna d’aquestes pàgines s’estructuraran els continguts per nivells educatius.

 

Una peça peculiar. Un nom apropiat?

Una de les coses que tenen en comú moltes disciplines és la de donar un nom concret i únic a un conjunt d’elements que tenen una característica comuna. A sovint el nom seleccionat no és gens representatiu d’allò descrit, però en certes ocasions el nom és probablement difícil de millorar.

Un exemple molt clar el tenim en matemàtiques, quan en una circumferència fem referència als conceptes d’arc, corda i fletxa, potser difícils de millorar, ja que la seua visualització és immediata (en la següent imatge tenim una aproximació a eixos conceptes).

Arc Casa Alonso

En música, algunes obres tenen un títol molt aclaridor d’allò que representen, però altres són completament aleatòries. Un cas peculiar apareix en una peça d’Isaac Albéniz anomenada “Asturias-Leyenda”. Originàriament va ser escrita per a piano en sol menor, però va ser convertida, després d’una adaptació a mi menor, en una obra per a guitarra (en realitat és una peça pràcticament necessària per a qualsevol intèrpret de guitarra).

Ací us enllace la versió de Piano: Albeniz_Leyenda.

El nom que li va donar Albéniz a aquesta peça quan va ser escrita sobre el 1890 va ser el de “Preludio” i era la introducció d’una obra denominada “Cantos de España”. Però més tard, en 1911, quan Albéniz ja havia mort, es va publicar una obra de huit moviments anomenada “Suite Española”. El problema era que qui ho publicava (Hofmeister) només tenia quatre moviments d’eixa obra (probablement s’havia arribat a un acord per a realitzar l’obra “Suite Española” anys enrere, però pareix que Albéniz només en va escriure quatre). El que va fer Hofmeister va ser agafar altres peces d’Albéniz i incorporar-les com a nous moviments de l’obra, posant els noms que li va paréixer. Una d’eixes peces va ser el “Preludio”, que va ser incorporat a l’obra com a un moviment anomenat “Asturias” amb el subtítol de “Leyenda”.

La qüestió és que “Asturias” no té ninguna relació amb Astúries, sinó més bé amb Andalusia, per això, probablement Albéniz, d’estar viu, supose que preferiria que s’anomenara “Leyenda” i supose que inclús preferiria que aquesta peça no formara part de l’obra “Suite Española”. De tota manera, com de moment no podem tornar arrere en el temps (una llàstima), haurem de conformar-nos amb suposicions.

La veritat és que en música es produeixen múltiples casos on les coses no estan gens clares. Un exemple també curiós, encara que de tipus diferent, és l’obra “Adagio d’Albinoni”, que contràriament al que molts pensen, en realitat no és d’Albinoni, però eixa és ja una altra història.

En definitiva, posar noms a les coses o descobrir la raó per la qual el nom és eixe en particular pareix que és més complicat del que podríem pensar. De fet jo ho trobe una cosa molt peculiar.

Solució al disseté repte: Les ballarines de hip-hop

El problema del disseté repte es trobava en elegir una bona estructura d’assajos de tal manera que cada ballarina observara a totes les companyes (recordem que tant Mar com Carla també s’incorporen per a ballar, ja que les altres ballarines poden aprendre observant-les).

Com tenim 6 ballarines, podríem denominar-les A (Carla), B (Mar), C, D, E i F.

Posarem a les que miren davant i separades d’una barra vertical “|” les que ballen.

Una possible solució seria la següent:

– 1ª actuació: ABC | DEF

– 2ª actuació: ADE | BCF

– 3ª actuació: BDF | ACE

– 4ª actuació: CEF | ABD

Amb menys de 4 actuacions és impossible, cosa molt senzilla de demostrar, que us deixe a vosaltres.

Solució al setzé repte: Qui és millor intèrpret?

Recordem el problema:

Tenim a una jove intèrpret que és clarament una promesa de futur, inclús alguns creuen que ja podria rivalitzar amb els millors intèrprets del món.

Com estaria bé comprovar la seua capacitat, s’ha convidat a un dels millors intèrprets del món per a fer una competició. No obstant, també hi ha un altre intèrpret que vol participar (encara que pareix ser que és prou fluixet).

liszt_consolation3

Per tant tenim a tres participants, que anomenarem com segueix:

– I: intèrpret promesa.

– S: súper intèrpret

– F: fluixet

La prova només està pensada per a la intèrpret promesa, i per tant ella haurà de triar contra qui competir tocant tres obres diferents. Una vegada ha elegit les obres, les haurà de tocar elegint a un competidor de manera alternada entre el súper intèrpret i el fluixet, és a dir, té dues opcions:

– La primera obra contra S, la segona contra F i la tercera contra S.

– La primera obra contra F, la segona contra S i la tercera contra F.

Ara bé, per a guanyar la competició, ella hauria de ser la guanyadora (decidit per un jurat imparcial) de com a mínim dues obres seguides.

Quina seria la millor opció per a triar si ella vol guanyar la competició?

Resposta:

Les possibles eleccions de la jove intèrpret serien:

Opció A: Primer contra S, després contra F i finalment contra S, cosa que suposaria dos enfrontaments contra S, probablement un interessant repte.

Opció B: Primer contra F, després contra S i finalment contra F. Pareix inicialment que aquesta opció és més senzilla, ja que només suposa un enfrontament contra S, però veurem a continuació que no és la millor opció.

Suposarem que la probabilitat de que la intèrpret guanye a F és de 0,98 i que la probabilitat de que la intèrpret guanye a S és de 0,45 (realment el nivell és pràcticament equivalent, ja que l’evolució de la jove intèrpret és de tal magnitud que el súper intèrpret ja la considera millor que ell, probablement sempre l’havia considerada millor que ell).

Calculem la probabilitat de que guanye I. La qüestió és que com ha de guanyar com a mínim dos enfrontaments, tenim tres possibilitats:

– Guanya el primer i el segon, i perd el tercer.

– Perd el primer i guanya el segon i el tercer.

– Guanya tots els enfrontaments.

Per tant, en el cas de l’opció A la probabilitat de que guanye I és:

P(guanya I) = 0,45·0,98·(1-0,45) + (1-0,45)·0,98·0,45 + 0,45·0,98·0,45 = 0,68355

En el cas de l’opció B tindríem:

P(guanya I) = 0,98·0,45·(1-0,98) + (1-0,98)·0,45·0,98 + 0,98·0,45·0,98 = 0,44982

Com podem observar, l’opció A és millor. Ara ho demostrarem en general, utilitzant en lloc dels valors 0,45 i 0,98 uns valors que podríem anomenar p (entre 0 i 0,5) i q (entre 0,5 i 1) respectivament i obtindríem:

Opció A: P(guanya I) = pq(1-p) + (1-p)qp + pqp = (2-p)qp

Opció B: P(guanya I) = qp(1-q) + (1-q)pq + qpq = (2-q)qp

Clarament la probabilitat de l’opció A és un valor major que la de l’opció B.