Curiositats matemàtiques: Un heptàgon amb regla i compàs?

Fa res vaig fer un viatge a Lorca i vaig poder observar en un hotel la següent imatge, que em va resultar prou curiosa, ja que es tracta d’una figura clarament relacionada amb l’heptàgon regular. Ara la qüestió que us podríeu fer és: “Per què és una figura curiosa?”. Intentaré contestar a continuació.

IMG_20150503_113326

És molt típic en dibuix tècnic dibuixar polígons regulars, com el triangle equilàter, el quadrat, l’hexàgon regular i l’octàgon regular, que realment resulten senzills de dibuixar amb regla i compàs.

Quan intentem dibuixar un pentàgon regular el mètode que ens mostren ja no pareix tan senzill (encara que tampoc és molt difícil) ja que requereix d’una sèrie de passos que en principi podríem no entendre. La qüestió que ens podríem plantejar és la següent: “Per què fem eixos passos?“. La resposta té una estreta relació amb el nombre auri, que és \frac{1+\sqrt{5}}{2} i si us fixeu en els passos una de les longituds que s’intenta trobar és \frac{\sqrt{5}}{2} (suposant que el costat inicial que ens donen és la unitat). El que ens queda per a entendre el procediment és saber que la diagonal d’un pentàgon regular de costat unitat és precisament el nombre auri, cosa que es pot demostrar fàcilment utilitzant el Teorema de Tales, que és molt senzill.

Però quan intentem fer un heptàgon regular el mètode típic ja és diferent, pareix prou més el·laborat i inclús potser no arribem a entendre la raó per la qual funciona. De fet podríem qüestionar-nos si el mètode és exacte o si en realitat estem fent un heptàgon regular de manera aproximada. Per tant la qüestió podria ser la següent: “És possible realitzar un heptàgon regular únicament amb regla i compàs?“.

La resposta a aquesta pregunta és ja coneguda des de fa prou temps i és la següent: “No es possible“. Tampoc és possible realitzar un eneàgon regular i altres construccions (entre les que caldria destacar la quadratura del cercle, la trisecció de l’angle i la duplicació del cub), però un dels majors èxits del gran Matemàtic Gauss (conegut com al Príncep de les Matemàtiques) va ser veure que el cas de l’heptadecàgon regular sí era possible, cosa que certament no pareix massa important, i més comparant-ho amb totes les coses que Gauss va aportar, que són moltíssimes i de molt alt nivell. Però la realitat és que Gauss va trobar la forma de realitzar l’heptadecàgon regular amb regla i compàs en 1796, quan només tenia 19 anys i va suposar probablement l’avanç més important en 2000 anys respecte a l’estudi dels polígons regulars. Per cert, pareix que gràcies a aquest descobriment va elegir estudiar matemàtiques en lloc de filosofia, cosa que va suposar un fet molt important per a les Matemàtiques.

Ací us mostre la construcció de l’heptadecàgon regular:

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s