Vinté repte: Reordenant quadres en un rectangle

En aquest repte us presente un vídeo on podreu observar un tauler rectangular de tamany 6×9 amb 54 peces quadrades. Algunes d’elles estan repetides i l’objectiu és comptar de quantes maneres podem aconseguir rectangles diferents de tamany 6×9, és a dir, rectangles que tinguen les peces ordenades de diferent manera.

Una de les coses que haureu de veure és la quantitat de peces de cada tipus que estan repetides, cosa que haureu de fer mirant el vídeo i utilitzant la memòria visual, o si ho preferiu el botó del pause 🙂

Un altre element a tindre en compte és que les peces no es poden girar, han de posar-se en el sentit en el que es troben en el vídeo.

I com a última part del repte estaria bé intentar de quantes maneres podem aconseguir rectangles diferents de qualsevol tamany (1×54, 2×27, …, 54×1).

Ànim i sort.

Dinové repte: Àrea d’una figura senzilla

El repte aquesta vegada consisteix en calcular l’àrea d’una senzilla figura que us mostre a continuació:

AreaTriangle

Aparentment és senzilla, ja que tenim un triangle que queda delimitat per la diagonal d’un quadrat de costat 10 metres i per les dues línies que van des del vèrtex del quadrat fins els punts mitjans dels dos costats oposats al vèrtex.

Si únicament volem utilitzar els mínims recursos, és a dir, sense utilitzar trigonometria i sense utilitzar coordenades i vectors, com podrem calcular l’àrea?. Unes ferramentes molt potents són el Teorema de Tales i el Teorema de Pitàgores. A veure qui ho pot aconseguir.

Ànim i sort.

Dihuité repte: Tan gran com siga possible

En aquest repte us presente un problema que he llegit en un blog molt interessant i que comentaré en la solució posterior.

Consisteix en trobar el màxim nombre que seríem capaços de construir utilitzant únicament tres símbols, que poden ser elegits entre les xifres 1 fins al 9 (no es poden elegir de manera repetida), els signes de les operacions matemàtiques bàsiques (signe de suma, de resta, de multiplicació i de divisió) i el símbol del factorial. Per cert també es pot utilitzar la potenciació.

Exemples de nombres que es podrien construir són:

587

9 \cdot 8 = 72

{4}^{{2}^{3}} = 65536

La qüestió és: “Quin serà el màxim que podrem crear?“.

Per cert, també seria interessar ampliar el repte plantejat si ens permeten utilitzar 4 símbols.

És probable que el resultat us puga sorprendre.

Us recomane per als càlculs de calculadora, no la vostra pròpia, que probablement és prou limitada, sinó la web http://www.wolframalpha.com que permet realitzar càlculs amb nombres prou més grans.

Ànim i sort.

“Cartas a una joven matemática” d’Ian Stewart

“Cartas a una joven matemática” és un llibre del conegut autor Ian Stewart.

El vaig llegir de manera detinguda fa molt poc perquè llegint el títol em va paréixer un llibre que podia ser interessant, i més tenint en compte que l’autor és un gran divulgador de Matemàtiques (ha escrit molts altres llibres de gran qualitat).

La veritat és que és un llibre curiós pel que respecta al format, ja que cada capítol és una carta que li envia l’autor (un matemàtic d’alt nivell que queda representat pel propi autor) a una xica anomenada Meg que ha decidit estudiar la carrera de matemàtiques.

En les primeres cartes (capítols) l’autor pretén mostrar-li a Meg per què considera que Meg ha triat adequadament, és a dir, li explica les raons per les quals és interessant estudiar la carrera de matemàtiques, mostrant-li tot allò de la vida real que requereix Matemàtiques (en particular els objectes quotidians que són com són gràcies a les Matemàtiques), les coses de l’actualitat que encara no han sigut controlades per les Matemàtiques i altres aspectes on les Matemàtiques són essencials. També li fa veure la diferència entre les matemàtiques de l’institut i les que es trobarà en la carrera de matemàtiques. En aquestos capítols la meua opinió personal coincideix amb la de l’autor en pràcticament qualsevol cosa que diu, llevat d’alguns xicotets detalls on opine d’una manera lleugerament diferent (de tota manera és probable que l’opinió d’Ian Stewart siga més important i precisa que la meua).

Un dels aspectes que tracta l’autor i que més destacaria és la necessitat de les Matemàtiques en l’avanç de moltes altres ciències, com per exemple en la Biologia, sobretot pel que fa a la Genètica (és probable que sense Francis Crick, que era un Físic especialitzat posteriorment en Biologia segurament amb bons coneixements de difracció de Rajos X i de les matemàtiques presents en estructures cristalines, haguera sigut impossible trobar l’estructura de l’ADN).

Una anècdota personal meua referent al pensament d’algunes persones respecte a l’origen de la cura de greus enfermetats, com per exemple el càncer és la següent:

Li vaig comentar a una persona que m’agradaria veure com en el futur era capaç d’obtindre la cura per al càncer (potser per a algun tipus particular) i em va contestar que certament havia estat pensant estudiar medicina. En realitat em va paréixer una resposta curiosa (i la veritat és que és natural que la resposta fóra eixa), ja que encara que els metges tindran certa importància en trobar la solució, probablement siga més un aspecte a tractar per la Biologia, però amb un marcat perfil de BioFísica i BioQuímica, i amb uns coneixements de Matemàtiques probablement d’alt nivell.

Després, en les cartes posteriors li mostra com es tracten les Matemàtiques, com s’estudien, com s’escriuen i com es desenvolupen. També li mostra el paper dels ordinadors, algun problema impossible com la trisecció de l’angle, li comenta la curiosa història de l’últim teorema de Fermat i de la seua resolució per Wiles fa molts pocs anys (1994).

Un aspecte interessant en les últimes cartes és la diferenciació entre Matemàtiques pures o aplicades, i la desafortunada diferenciació que es fa entre aquestos dos conceptes.

I per últim, li envia diverses cartes on li mostra la vida d’un matemàtic professional en el sentit més acadèmic. Aquesta última part té molta relació amb la vivència personal d’Ian Stewart i és probablement molt interessant, però és cert que més interessants són els camins futurs d’aquelles persones que comencen amb el viatge per les Matemàtiques, que són molt diversos i també, probablement, inesperats.

Si el llegiu, espere que us agrade. A mi em pareix un llibre molt interessant.

Curiositats matemàtiques: Un heptàgon amb regla i compàs?

Fa res vaig fer un viatge a Lorca i vaig poder observar en un hotel la següent imatge, que em va resultar prou curiosa, ja que es tracta d’una figura clarament relacionada amb l’heptàgon regular. Ara la qüestió que us podríeu fer és: “Per què és una figura curiosa?”. Intentaré contestar a continuació.

IMG_20150503_113326

És molt típic en dibuix tècnic dibuixar polígons regulars, com el triangle equilàter, el quadrat, l’hexàgon regular i l’octàgon regular, que realment resulten senzills de dibuixar amb regla i compàs.

Quan intentem dibuixar un pentàgon regular el mètode que ens mostren ja no pareix tan senzill (encara que tampoc és molt difícil) ja que requereix d’una sèrie de passos que en principi podríem no entendre. La qüestió que ens podríem plantejar és la següent: “Per què fem eixos passos?“. La resposta té una estreta relació amb el nombre auri, que és \frac{1+\sqrt{5}}{2} i si us fixeu en els passos una de les longituds que s’intenta trobar és \frac{\sqrt{5}}{2} (suposant que el costat inicial que ens donen és la unitat). El que ens queda per a entendre el procediment és saber que la diagonal d’un pentàgon regular de costat unitat és precisament el nombre auri, cosa que es pot demostrar fàcilment utilitzant el Teorema de Tales, que és molt senzill.

Però quan intentem fer un heptàgon regular el mètode típic ja és diferent, pareix prou més el·laborat i inclús potser no arribem a entendre la raó per la qual funciona. De fet podríem qüestionar-nos si el mètode és exacte o si en realitat estem fent un heptàgon regular de manera aproximada. Per tant la qüestió podria ser la següent: “És possible realitzar un heptàgon regular únicament amb regla i compàs?“.

La resposta a aquesta pregunta és ja coneguda des de fa prou temps i és la següent: “No es possible“. Tampoc és possible realitzar un eneàgon regular i altres construccions (entre les que caldria destacar la quadratura del cercle, la trisecció de l’angle i la duplicació del cub), però un dels majors èxits del gran Matemàtic Gauss (conegut com al Príncep de les Matemàtiques) va ser veure que el cas de l’heptadecàgon regular sí era possible, cosa que certament no pareix massa important, i més comparant-ho amb totes les coses que Gauss va aportar, que són moltíssimes i de molt alt nivell. Però la realitat és que Gauss va trobar la forma de realitzar l’heptadecàgon regular amb regla i compàs en 1796, quan només tenia 19 anys i va suposar probablement l’avanç més important en 2000 anys respecte a l’estudi dels polígons regulars. Per cert, pareix que gràcies a aquest descobriment va elegir estudiar matemàtiques en lloc de filosofia, cosa que va suposar un fet molt important per a les Matemàtiques.

Ací us mostre la construcció de l’heptadecàgon regular: