Solució al desé repte: Una corba que pareix que no acaba mai

La corba que ens proposàvem dibuixar pareixia impossible d’acabar, però com podrem observar la seua longitud és finita i si fórem capaços de dibuixar a una velocitat constant, l’acabaríem sense problema.

Anem per tant a descobrir que té una longitud finita. Com podem observar, la primera volta té una longitud determinada i en lloc d’utilitzar el valor que us he marcat, vaig a suposar que és un valor que anomenaré L.

La segona volta que fa la corba tindrà com a longitud la meitat de la primera, la tercera corba tindrà la meitat de la segona, és a dir, la quarta part de la primera, i així successivament, de manera que si volem calcular la longitud total haurem de sumar les següents quantitats:

L + L/2 + L/4 + L/8 + L/16 + …

Ara bé podem traure factor comú en eixa expressió i escriure:

L·(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …)

Si recordeu, la part que està en parèntesi és la suma d’una successió geomètrica de raó 1/2, de manera que el resultat final serà que la corba té una longitud de valor 2L, i com L és un valor finit, la corba té una longitud finita.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s