Dia: 05/01/2015

by

Vídeos interessants: Vi Hart

Us passe un enllaç on podreu trobar vídeos sobre temes curiosos de matemàtiques. La majoria dels vídeos són molt interessants. Estan en anglés (em pareix que només el primer està traduït) però podeu posar subtítols per a entendre’ls millor.

Enllaç

L’autora dels vídeos s’anomena Vi Hart i té un canal en Youtube pareix ser que de molt èxit (alguns dels seus vídeos tenen milions de visites, de fet el vídeo d’Hexaflexagons té pràcticament 6 milions de visites). Es defineix com una matemúsica i la veritat és que dibuixa i canta molt bé, a més és prou peculiar.

Us anticipe que parla prou ràpid. Espere que us agraden.

by

Solució al desé repte: Una corba que pareix que no acaba mai

La corba que ens proposàvem dibuixar pareixia impossible d’acabar, però com podrem observar la seua longitud és finita i si fórem capaços de dibuixar a una velocitat constant, l’acabaríem sense problema.

Anem per tant a descobrir que té una longitud finita. Com podem observar, la primera volta té una longitud determinada i en lloc d’utilitzar el valor que us he marcat, vaig a suposar que és un valor que anomenaré L.

La segona volta que fa la corba tindrà com a longitud la meitat de la primera, la tercera corba tindrà la meitat de la segona, és a dir, la quarta part de la primera, i així successivament, de manera que si volem calcular la longitud total haurem de sumar les següents quantitats:

L + L/2 + L/4 + L/8 + L/16 + …

Ara bé podem traure factor comú en eixa expressió i escriure:

L·(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …)

Si recordeu, la part que està en parèntesi és la suma d’una successió geomètrica de raó 1/2, de manera que el resultat final serà que la corba té una longitud de valor 2L, i com L és un valor finit, la corba té una longitud finita.

by

Solució al nové repte: Un piano infinit

Les tecles que anem tocant són les següents:

DO, RE, FA, SI, FA, RE, DO, DO, RE, FA, SI, FA, RE, DO, …

Com podem observar, quan toquem el DO per tercera vegada veníem de deixar 6 tecles sense tocar, és a dir des d’un DO fins al DO superior a ell. Això significa que quan deixem 6 tecles sense tocar toquem la mateixa nota (el mateix nom de la nota) de manera que si després hem de botar set tecles equivaldria pel que respecta al nom de la tecla a tocar la nota del costat, cosa que farà repetir el cicle sense fí donat que quan hem botat 6 tecles hem tornat a tocar un DO.

Aquest problema té relació amb l’aritmètica modular de mòdul 7. Per aquells que intenten entendre què significa ací teniu un enllaç.

Per tant mai es tocaran les tecles MI, SOL, LA.

I respecte a la pregunta del nombre de vegades que toquem la tecla DO després de tocar 10 000 tecles, únicament hem de veure que cada set tecles apareix dues vegades la tecla DO. Si fem 10 000:7 obtenim 1 428,57, és a dir hem tocat 2·1 428+1 = 2 857 vegades el DO.