Tretzé repte: Informació redundant

El repte que us plantege a continuació està relacionat amb la numeració del DNI, en particular amb la lletra del NIF.

Heu de saber que si sabem el número del DNI, podrem calcular la lletra, ja que la lletra es calcula a partir de les xifres del DNI. Es calcula de la següent manera:

– Dividim el número del DNI entre 23.
– Agafem el residu i li assignem en funció del residu, la lletra corresponent seguint la relació que es mostra a continuació:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E

Les qüestions del repte són les següents:

1. Imagineu que trobem un NIF amb el següent número i lletra:

200_0123K on el guionet baix és una xifra que s’ha borrat. Quina xifra podria ser?

2. Si el número de DNI és de 8 xifres, és possible trobar algun DNI on al variar una única xifra tinga la mateixa lletra? (és a dir, que amb dos valors diferents en una determinada xifra del DNI tingam la mateixa lletra). Seria possible que posant tres valors distints en una determinada xifra s’obtinga la mateixa lletra? I si el DNI fóra de 20 xifres, seria possible?

Ànim i sort.

Equacions de primer grau (amb parèntesis i denominadors)

A continuació us mostre un vídeo de resolució d’una equació de primer grau que presenta parèntesis i denominadors.

La solució es presenta pas a pas de manera que puga visualitzar-se el mètode complet, que consisteix en els següents passos:

– Llevar els parèntesis realitzant els productes oportuns.

– Calcular el valor del mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors.

– Expressar tota l’equació amb el denominador comú calculat (modificant adequadament els numeradors).

– Llevar els denominadors tenint en compte si s’han de modificar alguns signes.

– Passar les x a un costat i els nombres a l’altre.

– Aïllar x i simplificar.

Solució a l’onzé repte: Daus no transitius

Aquest repte és molt curiós i de fet inicialment la resposta a la pregunta és típicament contraria al que realment pot passar. La qüestió és que sí que es poden trobar tres daus que no tinguen la propietat transitiva.

Daus no transitius

Un exemple que ha tret Irene Iniesta i que es va posar en els comentaris del problema és el següent:

Dau A= (1,1,1,6,9,10)

Dau B= (1,1,2,5,6,7)

Dau C= (1,1,1,2,11,12)

Com es pot observar fent unes senzilles taules com la que apareix a l’enunciat del problema tenim:

Dau A guanya al Dau B en 16 casos, empata en 7 casos i perd en 13 casos, és a dir que el Dau A és “millor” que el Dau B.

Dau B guanya al Dau C en 15 casos, empata en 7 casos i perd en 14 casos, és a dir que el Dau B és “millor” que el Dau C.

Dau C guanya al Dau A en 15 casos, empata en 9 casos i perd en 12 casos, és a dir que el Dau C és “millor” que el Dau A.

Una cosa, que segurament veureu com a molt curiosa.

Aquest problema podria tindre problemes derivats. Per exemple podríem intentar trobar 3 daus de manera que A fóra molt millor que B, B molt millor que C i C molt millor que A, en el sentit de tindre una diferència entre casos guanyadors front a perdedors tan gran com fóra possible, cosa que podríem aconseguir evitant empats.

Espere que us haja agradat aquest repte.

Preparació de les Proves Cangur

Les Proves Cangur són unes proves matemàtiques per als nivells de 3er d’ESO fins a 2on de Batxillerat, de manera que la prova de Nivell 1 és la corresponent a 3er d’ESO i la de Nivell 4 és la de 2on de Batxillerat.

Amb esforç tot és possible

Totes les proves tenen la mateixa estructura, que és la següent:

Un total de 30 preguntes amb format de prova de test amb 5 opcions per a cadascuna de les preguntes on només una resposta és la correcta. Les preguntes estan organitzades per dificultat, de manera que apareixen 10 preguntes de 3 punts, 10 preguntes de 4 punts i 10 preguntes de 5 punts. Si no es contesten no lleven puntuació, però si es contesten de manera incorrecta suposen una puntuació negativa de la quarta part dels punts de la pregunta.

Tots els participants comencen amb 30 punts (això es fa de manera que si uno contesta totes les preguntes incorrectament obtindrà una puntuació final de 0 punts) i la puntuació màxima és de 150 punts, que no és senzilla d’obtindre.

La duració de la prova és de 75 minuts, de manera que s’ha d’anar relativament ràpid.

De manera orientativa, una bona aproximació al que estaria bé aconseguir és dedicar 1 minut per a cada pregunta de 3 punts, 2 minuts per a cada pregunta de 4 punts i 3 minuts per a cada pregunta de 5 punts, tenint 15 minuts per a poder comprovar o finalitzar l’examen amb més calma.

La major part de les preguntes es poden fer de manera prou ràpida i de fet si una pregunta us costa més de 5 minuts és perquè probablement es pot fer d’una altra manera. També és típic ajudar-se de les respostes per a resoldre la pregunta de manera més ràpida, ja que algunes respostes es poden descartar fàcilment.

Us deixe a continuació una prova de Nivell 1 (3er d’ESO). Aniré posant una prova cada setmana i si les intenteu podríeu comentar les preguntes que us han costat massa temps o que directament no sabeu i us puc donar alguna indicació per a aconseguir resoldre-les. També us pose les solucions de la prova.

nivell1_2014 (em pareix que és la versió de les Proves en Catalunya. La diferència respecte a les Proves que vosaltres trobareu és pràcticament inexistent, ja que només canviarien algunes paraules puntuals si no són massa comunes en valencià).

Les solucions (sense explicació) d’eixa prova les podeu trobar ací

Si voleu anar fent més proves, podeu visitar aquesta pàgina i seleccionar l’any i descarregar els enunciats de les proves del vostre nivell (1 per a 3er d’ESO). També estan les solucions, però no estan explicades.

Ànim i recordeu que si guanyeu algun dels premis, compartir és molt gratificant 😛 🙂

Vídeos interessants: Vi Hart

Us passe un enllaç on podreu trobar vídeos sobre temes curiosos de matemàtiques. La majoria dels vídeos són molt interessants. Estan en anglés (em pareix que només el primer està traduït) però podeu posar subtítols per a entendre’ls millor.

Enllaç

L’autora dels vídeos s’anomena Vi Hart i té un canal en Youtube pareix ser que de molt èxit (alguns dels seus vídeos tenen milions de visites, de fet el vídeo d’Hexaflexagons té pràcticament 6 milions de visites). Es defineix com una matemúsica i la veritat és que dibuixa i canta molt bé, a més és prou peculiar.

Us anticipe que parla prou ràpid. Espere que us agraden.

Solució al desé repte: Una corba que pareix que no acaba mai

La corba que ens proposàvem dibuixar pareixia impossible d’acabar, però com podrem observar la seua longitud és finita i si fórem capaços de dibuixar a una velocitat constant, l’acabaríem sense problema.

Anem per tant a descobrir que té una longitud finita. Com podem observar, la primera volta té una longitud determinada i en lloc d’utilitzar el valor que us he marcat, vaig a suposar que és un valor que anomenaré L.

La segona volta que fa la corba tindrà com a longitud la meitat de la primera, la tercera corba tindrà la meitat de la segona, és a dir, la quarta part de la primera, i així successivament, de manera que si volem calcular la longitud total haurem de sumar les següents quantitats:

L + L/2 + L/4 + L/8 + L/16 + …

Ara bé podem traure factor comú en eixa expressió i escriure:

L·(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …)

Si recordeu, la part que està en parèntesi és la suma d’una successió geomètrica de raó 1/2, de manera que el resultat final serà que la corba té una longitud de valor 2L, i com L és un valor finit, la corba té una longitud finita.