Sabeu el que són els nombres primers?

Es defineixen com aquells nombres naturals distints del número 1 de manera que únicament tinguen com a divisors el número 1 i ells mateix. La resta de nombres naturals s’anomenen compostos, però el número 1 no es considera ni primer ni compost (fa prou temps enrere sí que es considerava primer, però a dia de hui ja no es considera per conveniència, ja que permet que els enunciats de moltes proposicions siguen més senzills, en particular el Teorema Fonamental de l’Aritmètica).

Si comenceu a calcular els nombres primers trobareu que són els següents:

2, 3, 5, 7, 11, 13, … i aniríem descobrint-ne més. De fet la següent imatge mostra els nombres primers menors que 100.

Nombres primers

Però la pregunta és: quants nombres primers existeixen?

La resposta a aquesta pregunta és que són infinits i la primera demostració, que és la que us presente a continuació, és d’Euclides (matemàtic grec (325 aC – 265 aC) molt famós sobretot pels 13 llibres que componen l’obra Els Elements i que han sigut una referència obligatòria durant uns 2000 anys per a molts estudiants. De fet és el segon llibre més editat de la història):

Suposem que la quantitat de nombres primers fóra finita, per exemple, que tinguérem únicament k nombres primers. Si els anomenem des del més menut fins el major, podríem escriure’ls de la següent manera:

p1, p2, p3, …, pk (en realitat tindríem p1=2, p2=3, p3=5, …)

Ara construïm el nombre p1·p2·p3·…·pk+1, que no hauria de ser primer donat que no pertany a la llista dels nombres primers que hem suposat que existien.

Però fixem-nos, si dividim aquest nombre entre p1 no ens donarà una divisió exacta, tampoc si el dividim entre p2 i de fet tampoc si el dividim entre qualsevol dels nombres primers que havíem suposat que existien.

Per tant, acabem de crear un nombre que també hauria de ser primer si únicament existiren eixos k nombres primers. I com eixe nombre creat no està en la llista dels k nombres primers hem arribat a una contradicció, i podem concloure que la quantitat de nombres primers és infinita.

Nota important: La prova d’Euclides NO és un mètode per a generar nombres primers, de fet obtindre nombres primers molt grans és una tasca extremadament complicada i si poguérem conéixer un mètode per a obtindre ràpidament si un nombre és primer o no, podríem posar en risc la seguretat d’Internet, ja que es troba fonamentada en la factorització de nombres amb factors primers extremadament grans.

La mostra que la prova d’Euclides no genera sempre nombres primers es pot veure amb aquest exemple:

2·3·5·7·11·13+1 = 30 031

que no és primer, ja que és múltiple de 59 (59·509 = 30 031).

Fixeu-se que aquest fet no contradiu la prova d’Euclides, encara que inicialment ho parega.

Per cert, aquells que pensen que és fàcil veure si un nombre és o no és primer, que pensen si el següent senzill nombre és primer:

104 729

Supose que us serà impossible sense l’ajuda d’Internet. Imagineu ara un nombre que tinga 100 xifres, o un nombre de 100 000 xifres. Amb nombres tan grans ni tota la potència de càlcul de tots els ordinadors del món seria suficient per a realitzar-ho en un temps raonable. Imagineu si tinguérem un nombre amb un googol o amb un googolplex de xifres.

Espere que s’haja pogut entendre. En cas contrari ja m’ho comenteu i intentaré escriure-ho d’una manera més clara.