Desé repte: La longitud d’una corba que no acaba mai

Aquest repte pense que és molt curiós i està relacionat amb una corba de la que vaig calcular la seua longitud fa ja un temps.

La corba és una espiral amb una característica particular. Cada vegada que dóna una volta, la distància al centre és la meitat. De fet, en la corba que us presente a continuació la distància al centre decreix de manera exponencial en funció de les voltes.

Ací teniu la gràfica de la corba (en realitat no l’he dibuixada tota, ja que l’espiral continuaria fent-se cada vegada més menuda sense fí):

Espiral

La qüestió és la següent:

Si la corba continua sempre sense fí, és possible que la seua longitud siga finita?

En realitat per a calcular la longitud exacta necessiteu el càlcul integral. No obstant no us demane això, que probablement es troba fora del vostre abast actualment, sinó que penseu si la longitud ens donarà un número concret (que no siga una longitud infinita).

Per a aconseguir-ho us donaré dues pistes importants:

– La longitud de la primera volta és 4,55986.

– En cada volta la longitud de la corba serà la meitat de l’anterior.

Si coneixeu un poc les progressions geomètriques potser inclús podreu calcular la longitud exacta.

Ànim i sort 🙂

4 pensaments sobre “Desé repte: La longitud d’una corba que no acaba mai

    • Com sempre, eres rapidíssima 🙂
      Supose que hauràs obtingut la longitud concreta. És curiós que no siga infinita, veritat? Ara fixa’t en aquesta pregunta que et faig: Si anares a dibuixar la corba i la dibuixares a una velocitat d’aproximadament 1 unitat de longitud cada segon, l’acabaries sencera en uns 9 segons? Si és així, que curiós que pugues dibuixar una corba que “no s’acaba mai” amb un temps finit 😛
      La veritat és que té una certa relació amb la paradoxa de Zenón sobre Aquiles i la Tortuga.
      Enhorabona i m’alegre que t’haja paregut interessant.
      D’una altra banda acabe de veure que per desgràcia no hi ha hagut sort amb el sorteig del “Desafío de Navidad” del periòdic “El País” , ja que li ha tocat a una altra persona. Pareix que han contestat 635 persones i un 80% havien encertat. Una pena ja que m’haguera fet molta il·lusió que t’haguera tocat. A la pròxima serà. De tota manera algun premi et mereixes pel que a mí respecta.
      Gràcies per la teua participació.

  1. Mai acabaries de dibuixar la corba perquè continua sense fi encara que la longitud siga finita, no? O estic equivocada? La veritat és que és un poc embolicat de pensar😃
    Respecte al premi de El País, estic contentíssima d’haver participat i haver entés el problema que van proposar. Això ja és prou premi per a mí😝 M’alegre moltíssim per la persona guanyadora, segur que va donar una resposta molt interessant. A veure si ho busque per veure com ho va explicar.

    • Si la longitud és finita i dibuixem a una velocitat constant, per exemple d’una unitat de longitud cada segon, en realitat sí que l’acabarem de dibuixar. En realitat la nostra corba, encara que siga infinita pel que fa a la quantitat de voltes que realitza, al tindre longitud finita, sí que serà dibuixable si ho fem a una velocitat constant. La qüestió és que a cada segon que passe donarem més i més voltes, de tal manera que quan arribem als 9,12 segons aproximadament ja haurem donat infinites voltes i l’haurem acabada de dibuixar.
      Per a que pugues visualitzar-ho més bé et propose dos exemples a continuació:

      – Pensa en un baló que cau a terra, al rebotar torna a pujar un poc menys que al principi, després torna a caure, torna a rebotar i puja un poc menys que abans, etc. Imagina que podem ampliar amb una lupa d’infinits augments i mirar quants bots ha donat el baló. En realitat podrien ser infinits i que quede quet en un temps finit. Sé que és difícil de veure, però imagina que en el primer segon ha donat 1 bot, en mig segon més fa un altre bot (ja són dos en total), en un quart de segon més fa un altre bot més (tres ja en total), en un huité de segon més un altre bot més (ja en són 4 en total), és a dir, imagina que en cada meitat de temps de l’anterior torna a donar un bot (els bots són cada vegada més menudets, de manera que la longitud total que descriu el baló és finita). Si penses bé aquest cas veuràs que en dos segons (que és la suma de 1+1/2+1/4+1/8+···) haurà donat infinits bots (que és la suma de 1+1+1+1+···), quina cosa més estranya, veritat? ja que en un temps finit pot donar infinits bots i la longitud recorreguda pel baló ha sigut finita.

      – Un altre cas interessant per a entendre-ho és el de tirar una boleta com una canica en un bol, tirant-la de manera que done voltes al bol. Poquet a poquet anirà aproximant-se al centre del bol per a finalment quedar parada. Però la qüestió és que donarà infinites voltes, cada vegada més menudetes i cada vegada més ràpides (eixa és la clau, que cada volta la fa cada vegada més ràpida donat que les voltes són cada vegada més menudes). Però al final la boleta quedarà parada perquè la longitud total que ha descrit la boleta és finita.

      No sé si t’ho hauré aclarit del tot. A més aquestos exemples me’ls acabe d’inventar per a que pugues veure una analogia del món real. Si no ho veus clar intentaré explicar-t’ho amb més deteniment a classe.

      Pel que fa al repte la teua explicació és la correcta. Segur que qui ha rebut el premi no ho ha fet tan bé com tu 😉 De tota manera m’alegre que hages sigut capaç de resoldre’l i que ho hages fet de bona gana. Mira que encara no hi ha ningun repte que se t’haja ressistit 🙂 I encara que siga prou premi, com m’has dit, el haver entés i haver realitzat correctament el repte, alguna cosa hauré de pensar 😉

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s