Dotzé repte: Reordenant

En aquest repte l’objectiu és reordenar els nombres 1, 2, 3, 4, 5 i 6 que es troben ordenats de major a menor i posar-los ordenats de menor a major, com es pot veure en la següent imatge:

Reordenació

Reordenació

Només tenim dos moviments permesos:

– Un nombre es pot moure a la casella del seu costat si està buida.

– Un nombre pot botar a un altre (com en el joc de les dames) si la casella a la que bota està buida.

De fet, seguint aquestes regles només podem elegir entre dos moviments inicials, o el 6 es mou a la casella buida del seu costat, o el 5 bota al 6 per a ocupar la casella buida.

El repte consistirà en trobar quina és la mínima quantitat de moviments necessària per a aconseguir posar els nombres en l’ordre de menor a major.

I si aconseguiu obtindre la quantitat mínima quan tenim 6 nombres, també seria interessant obtindre la quantitat mínima quan tenim n nombres, és a dir, obtindre una fórmula en funció del valor n.

Ànim i sort.

Onzé repte: Sempre transitiva?

Després de l’entrada anterior on tractàvem que els nombres primers són infinits, anem amb un nou repte, però abans de començar recordarem el que significa la propietat transitiva.

Una relació en un determinat conjunt té la propietat transitiva si s’acompleix el següent:

Si A relacionat amb B i B relacionat amb C, tindrem que A relacionat amb C.

Un exemple de relació que té la propietat transitiva és per exemple l’ordre habitual en els nombres naturals, ja que si tenim tres nombres A, B i C, de manera que A>B i B>C, tindrem necessàriament que A>C.

Ara bé, no totes les relacions són transitives. Un exemple podria ser la relació d’amistat entre un conjunt de persones, ja que pot passar que una persona A siga amiga d’una persona B i que B siga amiga de C, però podria passar que A i C no foren amigues.

El repte que us plantege és el següent:

004 dados

Anem a jugar a un joc on al tirar dos daus, guanya el dau que trau un nombre més alt que l’altre.

L’objectiu serà crear tres daus de sis cares cadascun (podeu posar els nombres que vulgueu en cada cara), de manera que la probabilitat de guanyar amb el dau A siga superior a la de guanyar amb el dau B, la probabilitat de guanyar amb el dau B siga superior a la del dau C, però que curiosament la probabilitat de guanyar amb el dau C siga superior a la de guanyar amb el dau A.

Pista per a calcular les probabilitats: Imagineu que tenim un dau A amb els següents nombres a les cares (1, 1, 4, 5, 8, 8) i un altre dau B amb les cares (1, 2, 3, 4, 5, 6). Per a calcular la probabilitat de guanyar amb el dau A front al B convé fer una taula de la següent manera:

Dau A front a dau B

Dau A front a dau B

Com es pot observar en la taula, la probabilitat de guanyar amb el dau A és 19/36, és a dir, aproximadament 52,78% i la probabilitat de guanyar amb el dau B és 13/36, és a dir, aproximadament 36,11%. La probabilitat d’empat seria el que queda per a arribar al 100%.

El repte és per tant pensar en els nombres que heu de posar a tres daus A, B i C, de manera que A guanye a B, B guanye a C i que C guanye a A.

Ànim i sort.

Curiositats matemàtiques: Existeixen infinits nombres primers

Sabeu el que són els nombres primers?

Es defineixen com aquells nombres naturals distints del número 1 de manera que únicament tinguen com a divisors el número 1 i ells mateix. La resta de nombres naturals s’anomenen compostos, però el número 1 no es considera ni primer ni compost (fa prou temps enrere sí que es considerava primer, però a dia de hui ja no es considera per conveniència, ja que permet que els enunciats de moltes proposicions siguen més senzills, en particular el Teorema Fonamental de l’Aritmètica).

Si comenceu a calcular els nombres primers trobareu que són els següents:

2, 3, 5, 7, 11, 13, … i aniríem descobrint-ne més. De fet la següent imatge mostra els nombres primers menors que 100.

Nombres primers

Nombres primers

Però la pregunta és: quants nombres primers existeixen?

La resposta a aquesta pregunta és que són infinits i la primera demostració, que és la que us presente a continuació, és d’Euclides (matemàtic grec (325 aC – 265 aC) molt famós sobretot pels 13 llibres que componen l’obra Els Elements i que han sigut una referència obligatòria durant uns 2000 anys per a molts estudiants. De fet és el segon llibre més editat de la història):

Suposem que la quantitat de nombres primers fóra finita, per exemple, que tinguérem únicament k nombres primers. Si els anomenem des del més menut fins el major, podríem escriure’ls de la següent manera:

p1, p2, p3, …, pk (en realitat tindríem p1=2, p2=3, p3=5, …)

Ara construïm el nombre p1·p2·p3·…·pk+1, que no hauria de ser primer donat que no pertany a la llista dels nombres primers que hem suposat que existien.

Però fixem-nos, si dividim aquest nombre entre p1 no ens donarà una divisió exacta, tampoc si el dividim entre p2 i de fet tampoc si el dividim entre qualsevol dels nombres primers que havíem suposat que existien.

Per tant, acabem de crear un nombre que també hauria de ser primer si únicament existiren eixos k nombres primers. I com eixe nombre creat no està en la llista dels k nombres primers hem arribat a una contradicció, i podem concloure que la quantitat de nombres primers és infinita.

Nota important: La prova d’Euclides NO és un mètode per a generar nombres primers, de fet obtindre nombres primers molt grans és una tasca extremadament complicada i si poguérem conéixer un mètode per a obtindre ràpidament si un nombre és primer o no, podríem posar en risc la seguretat d’Internet, ja que es troba fonamentada en la factorització de nombres amb factors primers extremadament grans.

La mostra que la prova d’Euclides no genera sempre nombres primers es pot veure amb aquest exemple:

2·3·5·7·11·13+1 = 30 031

que no és primer, ja que és múltiple de 59 (59·509 = 30 031).

Fixeu-se que aquest fet no contradiu la prova d’Euclides, encara que inicialment ho parega.

Per cert, aquells que pensen que és fàcil veure si un nombre és o no és primer, que pensen si el següent senzill nombre és primer:

104 729

Supose que us serà impossible sense l’ajuda d’Internet. Imagineu ara un nombre que tinga 100 xifres, o un nombre de 100 000 xifres. Amb nombres tan grans ni tota la potència de càlcul de tots els ordinadors del món seria suficient per a realitzar-ho en un temps raonable. Imagineu si tinguérem un nombre amb un googol o amb un googolplex de xifres.

Espere que s’haja pogut entendre. En cas contrari ja m’ho comenteu i intentaré escriure-ho d’una manera més clara.

Desé repte: La longitud d’una corba que no acaba mai

Aquest repte pense que és molt curiós i està relacionat amb una corba de la que vaig calcular la seua longitud fa ja un temps.

La corba és una espiral amb una característica particular. Cada vegada que dóna una volta, la distància al centre és la meitat. De fet, en la corba que us presente a continuació la distància al centre decreix de manera exponencial en funció de les voltes.

Ací teniu la gràfica de la corba (en realitat no l’he dibuixada tota, ja que l’espiral continuaria fent-se cada vegada més menuda sense fí):

Espiral

La qüestió és la següent:

Si la corba continua sempre sense fí, és possible que la seua longitud siga finita?

En realitat per a calcular la longitud exacta necessiteu el càlcul integral. No obstant no us demane això, que probablement es troba fora del vostre abast actualment, sinó que penseu si la longitud ens donarà un número concret (que no siga una longitud infinita).

Per a aconseguir-ho us donaré dues pistes importants:

– La longitud de la primera volta és 4,55986.

– En cada volta la longitud de la corba serà la meitat de l’anterior.

Si coneixeu un poc les progressions geomètriques potser inclús podreu calcular la longitud exacta.

Ànim i sort 🙂

Pista per al repte de “El País”

Us vaig comentar que faria una entrada referent a temes bàsics de probabilitat donat que el repte que es proposava en “El País” tenia com a temàtica la probabilitat. No obstant, encara que el repte és de probabilitat, únicament la requereix en l’etapa inicial de plantejament del problema. De fet es tracta més bé d’un problema de productes de nombres naturals.

Per aquesta raó us proporcionaré la pista inicial que us permetrà l’atac del problema, però ja sabeu, finalitzar-lo i presentar la solució al concurs serà cosa vostra.

Anem allà:

Tenim un cert nombre de boles blanques, que denotarem per “b” i una quantitat total de boles que denotarem com “N”.

La probabilitat de traure dues boles blanques és 1/2, és a dir:

\frac{b}{N} \cdot \frac{b-1}{N-1} = \frac{1}{2}

Ara només us queda saber quins valors han de ser b i N de manera que aquesta igualtat siga possible. Per cert, recordeu que N és com a màxim 20.

Ànim i a guanyar el premi 🙂

“Desafío Matemático” de “El País”

El País” ha publicat un nou repte de Nadal.

arbol-de-navidad_17-205005624

Us informe a tots aquells que us apetisca realitzar-lo i optar a guanyar una col·lecció de llibres matemàtics valorada aproximadament en 400 euros, que teniu de plaç fins abans del divendres 19 de desembre per a enviar la solució. La col·lecció de llibres està molt bé, jo la tinc i són 40 llibres molt interessants. També es guanya un llibre que recopila 40 reptes anteriors, la majoria dels quals són curiosos i amb possibilitat de ser resolts sense coneixements avançats de matemàtiques.

L’enunciat del repte de Nadal el podeu trobar en aquest enllaç:

Enunciat

Ànim i sort. Segur que si el feu bé i l’envieu, tindreu opcions de poder guanyar el premi. Es requereixen coneixements bàsics sobre probabilitat per a resoldre’l. Per si no teniu eixos coneixements sobre probabilitat, intentaré escriure un post per a donar-vos les ferramentes bàsiques. No obstant, resoldre el repte serà cosa vostra.

Nota: Seria molt gratificant poder veure el nom d’algú de vosaltres com a guanyador@ del repte. A veure si us animeu.