Solució al seté repte

Recordem la pregunta:

Es possible trobar un nombre irracional que elevat a un altre nombre irracional ens done un resultat racional?

Existeixen infinites solucions per a aquesta pregunta, és a dir, podem trobar infinites combinacions de dos nombres irracionals de manera que un d’ells elevat a l’altre done racional.

Un exemple senzill és:

e^{ln(2)}=2

ja que tant e com ln(2) són nombres irracionals, encara que s’hauria de demostrar. Ací us deixe un enllaç on es presenta una prova típica sobre la irracionalitat de e (prova) i sobre la irracionalitat de ln(2) (prova). He de dir-vos que aquestes proves requereixen coneixements un parell d’escalons per damunt dels que s’obtenen a l’ESO. No obstant, podeu intentar entendre mínimament els passos de la demostració.

De tota manera és més interessant veure un mètode que sense determinar els dos nombres irracionals, ens proporciona la resposta positiva a la pregunta inicial i sense requeriments d’especial nivell de coneixements (excepte per la definició de les potències amb exponent irracional).

Anem amb la prova:

Suposem que tenim l’arrel quadrada de 2, és a dir \sqrt{2}, que és un nombre irracional (ací teniu un parell de demostracions).

Si tenim el nombre \sqrt{2}^{\sqrt{2}} només poden passar dues coses, que siga racional o que siga irracional:

– Si fóra racional, ja tindríem la resposta afirmativa a la pregunta.

– Si fóra irracional, podríem fer \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}} i aplicant les propietats de les potències tindríem \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2 que seria un nombre racional.

En conclusió, la resposta és afirmativa.

Nota: En realitat sí que es pot saber directament que \sqrt{2}^{\sqrt{2}} és irracional aplicant un resultat conegut com el Teorema de Gelfond-Schneider.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s