Solució al cinqué repte

El cinqué repte consistia en trobar els valors de les xifres xyz de manera que l’expressió xyz en base 7 representara la mateixa quantitat que zyx en base 9.

Una solució trivial apareix quan tant x, com y, com z tenen el valor 0.

La qüestió és si podem trobar més solucions. La resposta és afirmativa, ja que podem trobar una altra solució:

En primer lloc, donat que les xifres han de ser vàlides en base 7, hem de notar que els valors que podem utilitzar són únicament 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

En base 7, xyz té valor: x·7^2+y·7+z = 49x+7y+z

En base 9, zyx té valor: z·9^2+y·9+x = 81z+9y+x

Igualant les dues expressions obtenim 80z+2y-48x=0, és a dir: x=(40z+y)/24

Per tant volem que 40z+y siga múltiple de 24. Això es pot aconseguir quan z=3, y=0 (també si z=1, y=8 i si z=4, y=8, però la xifra 8 no és vàlida en base 7). I en conseqüència x=5, de manera que el número que busquem és:

503 en base 7

305 en base 9

El valor en el nostre sistema decimal és 248.

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s