Curiositats matemàtiques: El tamany dels folis

Estem acostumats a escriure en folis que tenen un tamany determinat, i que sempre és fixe. Si calculeu les dimensions són 210mm x 297mm.

La qüestió és: Per què és així?

Es podria contestar simplement que es tracta d’unes mesures estàndard i que és així i punt, però probablement no ens quedem satisfets amb eixa resposta. Si ens anomenen que eixes mesures són les definides per la norma ISO 216, que prové de la norma DIN 476, potser ens aporte més informació, però ens quedem encara amb el dubte de per què eixes dimensions en particular.

El tamany d'un foli

Anem a intentar descobrir-ho :):

Els folis que nosaltres utilitzem pertanyen a la Serie A de la norma ISO 216 i molta gent coneix el format com a DIN A4. Però també podem conéixer altres formats com DIN A3, DIN A5, DIN A2, … (què significaran?).

La qüestió és que es va prendre com a format DIN A0 un full amb una superfície determinada, en concret \displaystyle 1 m^2 , i d’unes mesures amb la característica que si dobles el full per la meitat obtens de nou que les mesures del full estan en la mateixa proporció que les originàries, és a dir:

x=\mbox{ costat llarg }
y=\mbox{ costat curt }

\displaystyle \frac{x}{y} = \displaystyle \frac{y}{\frac{x}{2}}

Com podeu observar, tenim una equació amb dues incògnites. Però recordem que si estem tractant amb el DIN A0, la superfície ha de ser  1 m^2 , i per tant (costat llarg)·(costat curt) = 1 i ja tenim un sistema d’equacions amb dues equacions i dues incògnites i encara que no és un sistema lineal, és de fàcil resolució.

A aquells que intenteu resoldre’l, ací teniu les mesures dels diversos tamanys de la norma:

DIN

Els vostres reptes

Qualsevol que vulga plantejar un repte que conega i li parega interessant o inclús algun repte propi (la veritat és que no és del tot senzill crear reptes originals), serà benvingut.

Podeu fer-ho comentant aquest post o si ho preferiu m’ho podeu comentar directament.

A vore si us animeu i proposem per a la gent els vostres reptes, segur que són més interessants que els meus 😉

Ànim i a no descuidar els estudis.

Solució al seté repte

Recordem la pregunta:

Es possible trobar un nombre irracional que elevat a un altre nombre irracional ens done un resultat racional?

Existeixen infinites solucions per a aquesta pregunta, és a dir, podem trobar infinites combinacions de dos nombres irracionals de manera que un d’ells elevat a l’altre done racional.

Un exemple senzill és:

e^{ln(2)}=2

ja que tant e com ln(2) són nombres irracionals, encara que s’hauria de demostrar. Ací us deixe un enllaç on es presenta una prova típica sobre la irracionalitat de e (prova) i sobre la irracionalitat de ln(2) (prova). He de dir-vos que aquestes proves requereixen coneixements un parell d’escalons per damunt dels que s’obtenen a l’ESO. No obstant, podeu intentar entendre mínimament els passos de la demostració.

De tota manera és més interessant veure un mètode que sense determinar els dos nombres irracionals, ens proporciona la resposta positiva a la pregunta inicial i sense requeriments d’especial nivell de coneixements (excepte per la definició de les potències amb exponent irracional).

Anem amb la prova:

Suposem que tenim l’arrel quadrada de 2, és a dir \sqrt{2}, que és un nombre irracional (ací teniu un parell de demostracions).

Si tenim el nombre \sqrt{2}^{\sqrt{2}} només poden passar dues coses, que siga racional o que siga irracional:

– Si fóra racional, ja tindríem la resposta afirmativa a la pregunta.

– Si fóra irracional, podríem fer \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}} i aplicant les propietats de les potències tindríem \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2 que seria un nombre racional.

En conclusió, la resposta és afirmativa.

Nota: En realitat sí que es pot saber directament que \sqrt{2}^{\sqrt{2}} és irracional aplicant un resultat conegut com el Teorema de Gelfond-Schneider.

Huité repte: Els bots de les granotes

Aquest repte té relació amb un joc prou entretingut que té com a objectiu invertir la posició originària de les granotes, que és la que es mostra en la següent imatge

Granotes botadoresi passar a una posició on les granotes han intercanviat els seus papers, és a dir

Granotes

Ara bé, el repte no serà tan senzill com aconseguir-ho, tampoc en fer-ho més ràpid (a veure si supereu els 8 segons de la imatge, ja que tenim 1 minut per a resoldre’l), sinó que consistirà en fer-ho amb la mínima quantitat de moviments.

Ací us deixe l’enllaç del joc on també podeu veure les instruccions: JUGAR AL JOC

Una vegada compteu la quantitat mínima de moviments, la pregunta serà. si en lloc de ser 3 granotes de cada color foren n granotes de cada color, quants moviments com a mínim serien necessaris per a intercanviar-les?

Ànim i sort amb el repte 🙂

Solució al sisé repte

Ací teniu la imatge que ens proporciona la solució al sisé repte.

La millor carretera (Punt de Fermat)

La millor carretera (Punt de Fermat)

El sabó és molt ràpid trobant aquest tipus de solucions 🙂

De fet la capa de sabó tendeix a ocupar la menor superfície unint els 4 punts.

El detall es troba en veure que els angles que forma el sabó són de 120º.

Una vegada vist aquest detall és una qüestió senzilla aplicant el teorema de Pitàgores o trigonometria que la longitud de la carretera serà aproximadament:

27,32km

Solució al cinqué repte

El cinqué repte consistia en trobar els valors de les xifres xyz de manera que l’expressió xyz en base 7 representara la mateixa quantitat que zyx en base 9.

Una solució trivial apareix quan tant x, com y, com z tenen el valor 0.

La qüestió és si podem trobar més solucions. La resposta és afirmativa, ja que podem trobar una altra solució:

En primer lloc, donat que les xifres han de ser vàlides en base 7, hem de notar que els valors que podem utilitzar són únicament 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

En base 7, xyz té valor: x·7^2+y·7+z = 49x+7y+z

En base 9, zyx té valor: z·9^2+y·9+x = 81z+9y+x

Igualant les dues expressions obtenim 80z+2y-48x=0, és a dir: x=(40z+y)/24

Per tant volem que 40z+y siga múltiple de 24. Això es pot aconseguir quan z=3, y=0 (també si z=1, y=8 i si z=4, y=8, però la xifra 8 no és vàlida en base 7). I en conseqüència x=5, de manera que el número que busquem és:

503 en base 7

305 en base 9

El valor en el nostre sistema decimal és 248.