Pàgina per a 3er d’ESO!!

S’ha activat una pàgina per a 3er d’ESO en el blog, on podreu trobar explicacions, problemes i exàmens dels temes.

Us recomane a tots aquells que necessiteu materials addicionals per a preparar bé l’assignatura, visitar els enllaços que es proposen per a cada tema.

Solució al tercer repte

És impossible passar per totes les portes. És una qüestió de parells i senars (imparells).

Si comencem des d’una habitació amb un nombre de portes parell, haurem d’entrar en ella al creuar l’última porta, és a dir, que començarem i acabarem en ella. Ara bé, com també hi ha habitacions amb nombre de portes senar, entrarem des de fora i arribarà un moment que quan tornem a entrar ja no podrem eixir, cosa que entra en contradicció amb el fet que hem d’acabar en l’habitació de sortida.

Si pel contrari eixim des d’una habitació amb un nombre senar de portes, no acabarem en ella, de fet acabarem en una altra habitació. Ara bé, com tenim més de dos habitacions amb nombre senar de portes (la 2, la 4, la 5 i el pati que també és una habitació amb 9 portes) resulta que a l’entrar des de fora en una d’elles, arribarà un moment que quan tornem a entrar ja no podrem eixir, i de nou tenim una contradicció.

En conseqüència, no podem passar per totes les portes amb les condicions que ens imposen.

És recomanable mirar els conceptes bàsics de la teoria de grafs (en particular els grafs eulerians i hamiltonians) per entendre bé aquest problema. De fet el graf equivalent a la imatge de les portes és el següent:

Graf de les habitacions

Graf de les habitacions

Com es pot observar, l’habitació 1 i l’habitació 3 tenen un nombre parell de portes (camins) i les habitacions 2, 4, 5 i el pati tenen un nombre senar de portes. En conseqüència no podem passar per totes les portes amb les condicions indicades, ja que només es podria si tinguérem un parell d’habitacions amb un nombre senar de portes o si totes les habitacions tingueren un nombre parell de portes.

Cinqué repte

  • Nivell de dificultat orientatiu (1-10): 4
  • Coneixements previs: Sistemes de numeració

Un nombre de 3 xifres s’escriu xyz en base 7 i zyx en base 9. Quin nombre és?

Canvi de base

Canvi de base

Per a començar heu d’entendre com es compta en una base diferent a la decimal. Per exemple, en base 5, la següent relació és certa: 3+4=12, ja que 12 en base 5 és igual a 7 en base decimal.

Ànim i sort amb el repte.

Quart repte

  • Nivell de dificultat orientatiu (1-10): 5
  • Coneixements previs: Suma de nombres naturals

En aquest repte hem d’intentar trobar el màxim i el mínim valor que podem aconseguir com a última tirada, omplint amb nombres i seguint unes determinades regles, el següent tauler:

Tauler 3x3

Tauler 3×3

Les regles són molt senzilles:

– Has de fer un recorregut complet pel tauler, passant per cadascuna de les caselles una única vegada.

– La primera casella és qualsevol de les del tauler i s’ha d’omplir amb el número 1.

– Des d’una casella només podem anar a una altra que estiga en contacte amb ella (el contacte pot ser horitzontal, vertical o diagonal).

– El valor de la casella que anem a omplir serà la suma de les caselles que estiguen en contacte amb eixa (tenint en compte que si una casella no té res, es considera un zero).

El repte serà arribar a l’última casella amb el màxim valor possible i amb el mínim valor possible.

T’atreviries també amb un tauler 4×4?

Podeu comentar els resultats que aneu obtenint o si alguna regla d’omplir el tauler no està clara.

Ànim i sort amb el repte.

Curiositats matemàtiques: Googol vs Googolplex

Anem amb els nombres Googol i Googolplex.

Googol vs Googolplex

Googol vs Googolplex

1 Googol és, en el sistema decimal, la xifra 1 seguida de cent xifres 0.

Podries pensar en alguna quantitat física que supere a un Googol?

Pensem per exemple en el nombre d’àtoms de l’Univers conegut. Quants àtoms creus que conté? Més que 1 Googol?

Ara bé, si volem escriure’l desenvolupat, i tardem un segon per a escriure cada xifra, tardarem 101 segons, és a dir, podrem escriure’l en menys de 2 minuts.

Passem ara al número conegut com a Googolplex, que és la xifra 1 seguida d’un Googol de xifres 0.

Quant de temps necessitaries per escriure’l si tardes un segon per a cada xifra?

Quants googols cabrien en un googolplex?

Si intentes contestar aquestes preguntes veuràs que un googolplex és extremadament gegant, però de totes maneres, insignificant si el comparem amb el concepte de l’infinit (inclús tractant-se del menor dels infinits).

Per a qualsevol dubte, no dubteu en comentar.

Solució al segon repte

La solució del segon repte és que 1200! acaba en 298 zeros.

Podem trobar aquest resultat pensant que obtindre un zero al final d’un nombre enter és equivalent a multiplicar per 10, és a dir, a tindre un factor 2 i un factor 5.

Per tant, donat que els factors 2 són més nombrosos en el número 1200!, només caldrà calcular quants factors 5 té 1200!

Per a comptar quants factors 5 farem la següent suma:

– Quantitat de nombres que tenen almenys un factor 5

1200:5 -> 240

– Quantitat de nombres que tenen almenys dos factors 5

240:5 ->48

– Quantitat de nombres que tenen almenys tres factors 5

48:5 -> 9

– Quantitat de nombres que tenen almenys quatre factors 5

9:5 -> 1

Per tant, tenim en total 240+48+9+1 = 298 factors 5.

De fet, si voleu comprovar els factors de 1200! podeu utilitzar wolframalpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=factors+of+1200%21)