Repte 32é. Punts alineats

Fa res, el meu amic Sergi em va plantejar un problema sobre posar uns punts de manera que tinguérem la possibilitat de fer la màxima quantitat de línies passant per tres punts. Ahí va el problema concret que em va comentar:

Posar 9 punts en el pla de manera que es puguen fer 10 línies que passen per diferents conjunts de 3 punts alineats (existeixen diverses solucions).

I si algú vol complicar-se un poc més l’existència, ahí van unes preguntes addicionals:

  • Amb 9 punts, podríem fer més de 10 línies?
  • Existeix alguna relació entre el nombre de punts i la quantitat máxima de línies?
  • I una variant del problema: si només podem fer una línea quan tenim 4 punts alineats, amb 10 punts podríem fer 5 línies?

Ànim i sort.

Raymond Smullyan

El 6 de febrer de 2017 ens va deixar Raymond Merril Smullyan, un interessant matemàtic, pianista, humorista, mag i filòsof, supose que entre altres coses.

smullyan

Des de ben menudet va mostrar un gran talent per a la música, acompanyat d’un gust especial per les matemàtiques. Probablement foren precisament les matemàtiques i la música els pilars fonamentals de la seua formació inicial, havent d’afrontar la difícil el·lecció de decantar-se (professionalment parlant) cap a una o l’altra. L’opció que va triar van ser les matemàtiques, però no per això va deixar de costat la música. A continuació podeu veure una interpretació seua (a una edat ja ben avançada) d’una peça de Bach:

És una sort disposar de vídeos com aquestos per poder recordar-lo. Ara bé, probablement de major relevància són els seus llibres de matemàtica recreativa, plens de jocs lògics amb els que molta gent haurà passat bons moments. El que vaig proposar com a repte vint-i-huit és un dels que jo considere més interessants, però en té tants que seria difícil quedar-se amb un d’ells.

D’una altra banda també ha escrit llibres de filosofia, d’escacs (anàlisi retrospectiu) i llibres més tècnics. El llistat de llibres és prou ampli, i més tenint en compte que no són llibres senzills d’escriure.

Ací us deixe una intervenció en un programa en directe que mostra prou bé el seu estil.

Per acabar, unes cites, sempre amb un cert toc d’humor:

“Humor could not flourish in a wholly serious and rational atmosphere”

“Recently, someone asked me if I believed in astrology. He seemed somewhat puzzled when I explained that the reason I don’t is that I’m a Gemini”

“I believe that either Jupiter has life or it doesn’t. But I neither believe that it does, nor do I believe that it doesn’t”

“Why should I be worried about dying? It’s not going to happen in my lifetime!”

Una pena que ens haja deixat. Per sort podem seguir gaudint d’algunes de les seues contribucions.

El teorema de Futurama

Imagineu que teniu una màquina que ofereix la possibilitat d’intercanviar la ment de dues persones, fent que en el cos de la primera persona estiga la ment de la segona i en el cos de la segona la ment de la primera.

La veritat és que seria una cosa molt interessant. Però ara bé, si ens digueren que quan dos cossos determinats han utilitzat la màquina, no poden tornar a utilitzar-la de nou com a parella, seria impossible utilitzar la màquina tenint la seguretat que podrem tornar a tindre totes les ments que l’hagen utilitzada en els seus corresponents cossos? Seria interessant pensar-ho abans d’utilitzar-la 🙂

El vídeo que us presente a continuació, d’un canal de Youtube molt recomanable (Mathologer) us pot indicar la resposta.

Repte 31é. Fibonacci mòdul n

La successió de Fibonacci és la següent:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Com es pot observar, els dos primers termes són 1, i a partir d’ahí, els següents termes s’obtenen per recurrència sumant els dos anteriors, és a dir:

1+1=2

1+2=3

2+3=5

i així successivament.

En aquest repte no tractarem directament amb la successió de Fibonacci, sinó amb els termes de la successió mòdul n, és a dir, amb els residus de cada nombre de la successió al ser dividits per un nombre natural n.

Per exemple, la successió de Fibonacci mòdul 3 seria la següent:

1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, …

Com es pot observar apareix un determinat període en la successió. Les preguntes són les següents:

  • Sempre serà periòdica per a qualsevol valor n?
  • Quan tenim un període, sempre començarà al principi i acabarà en 1, 0?
  • Quan un període acaba en 0, quin significat tindrà en la successió de Fibonacci originària (és a dir, l’últim terme del període de la successió originària serà múltiple d’algun nombre concret)?
  • Existeix alguna relació entre el període de la successió mòdul n i la successió mòdul kn (és a dir, quan fem mòdul d’un múltiple del valor n)? I entre el tamany dels períodes (que denominarem T(n) per a la successió mòdul n)?
  • Es podria demostrar que si n i m són primers entre sí, T(nm)=mcm(T(n),T(m))?
  • I aquesta molt més difícil (de moment la desconec), es podria obtindre una fórmula per determinar el tamany del període en funció del valor n?

Si a algú li pot ser útil el següent arxiu Excel, per a generar les successions mòdul n, ahí va:

successió-fibonacci-mòdul-n

(en l’arxiu es pot canviar el valor d’AC3 i generar de nou la columna AD a partir del tercer element)

Ànim i sort.

Repte 30é. Trencant barretes

A continuació us presente un repte de probabilitat que em pareix interessant.

Suposem que disposem d’una barreta cilíndrica de longitud L que ens demanen que partim amb un únic tall transversal (paral·lel a les bases). Ens donen total llibertat per trencar-la per on considerem oportú, és a dir, el tall pot ser tan proper a una base com vulguem.

La pregunta és la següent: quina serà la longitud mitjana del tros menudet? i la del tros gran?

Ara anem a complicar les coses:

Si en lloc de trencar-la en dos trossos, hem de partir-la en tres trossos, quina serà la longitud mitjana del tros menut, del mitjà i del gran?

I si algú vol complicar el problema molt més, quines seran les longituds mitjanes ordenades per tamany si la trencàrem en una quantitat N de trossos?

Ànim i sort.

Quadrat màgic 5×5

En el vídeo que us deixe a continuació podeu veure un procediment molt curiós per poder realitzar un quadrat màgic de tamany 5×5. Com podreu observar, les coses poden ser molt senzilles quan coneixem un bon mètode per arribar a la solució.

Espere que us haja agradat. Ara ja podem dir que sabem fer quadrats màgics de 5×5 i de fet, de manera molt senzilla.

Una transformació necessària…

Aquesta és una entrada completament atípica que, potser per sort, es perdrà entre algunes de les coses prèvies escrites… però potser siga necessari saber que ahí estarà, amagada, per conéixer probablement en un futur, les raons de l’inici d’un canvi. De no ser així, serà inclús una sort la seua desaparició.

Crec que me n’he adonat que ha sigut necessari entrar en un túnel per tornar al món terrenal. Deixar enrere la llum intensa, canalitzada junt a una vocació docent minvada per una frustració creixent (de diversos orígens), ha sigut una experiència dura, però potser aclaridora. Aquest serà el moment d’un canvi de feina o potser una reorientació necessària d’allò que, de moment, realitze rutinàriament i cada vegada amb menys passió.

He pogut observar que el problema és, en gran mesura, del transmissor (encara que no exclusivament). Les meues qualitats com a professor s’allunyen d’allò que sempre havia imaginat, arribant al punt de qüestionar allò que faig i sobretot com ho faig. Canviaria tantes coses,… potser no siga capaç, però per sort, crec que encara estic a temps de fer un canvi d’enfoc, potser un canvi apropiat per a revertir la frustració. Necessite redefinir mètodes, modalitats organitzatives, continguts, relacions entre continguts, planificacions, itineraris d’aprenentatge, entendre i resoldre l’apropiat tractament de la diversitat, noves estràtegies d’avaluació, estructuració de bancs de recursos, trobar la integració adequada de les TIC,… i moltíssimes altres coses més. No acabaria mai aquesta llista.

Quan pense sobre quines coses aporte o si sóc necessari en el procés de proporcionar un cert aprenentatge a aquelles persones que han d’estar presents durant les meues classes, veig que probablement sóc irrelevant. Veig que sóc una peça d’un engranatge molt fàcil de substituir i també fàcil de millorar, però crec que encara estic a temps de reinventar-me. Tinc a l’abast multitud de noves tecnologies que possiblement em permetran realitzar aquest canvi.

Sempre havia pensat que la feina de professor de Matemàtiques era proporcionar les ferramentes adequades que permeteren als alumnes arribar al coneixement i crear-lo per ells mateix, explicar les raons del correcte funcionament i la pròpia construcció d’eixes ferramentes, buscar la creativitat en els procediments d’ús d’eixes ferramentes, inclús en la creació de noves ferramentes… potser massa ambiciós considerant que no proporcione la via adequada per a afavorir eixos objectius, o potser no tan apropiada com pensava.

Quina és la solució i allò que requereix eixa solució? Probablement un esforç gegant, un temps molt ampli que hauria de furtar a les persones properes, un temps tan valuós que m’arrepentiria de perdre… però no tot està perdut, ja que encara que jo siga insignificant com un granet d’arena, pareix ser que diversos granets d’arena poden formar una platja. I per sort, ja no només el vent els mou, ja que la interconnexió és, a dia de hui, pràcticament instantània.

Potser siga necessari un període de buidar la ment i afrontar aquesta transició com una preparació per al que vindrà, un període de gran quantitat de feina, però potser un període esperançador… això sempre que, clar està, continue per ací.

Disculpes a aquells que heu arribat fins aquesta línia si la utilitat d’aquestes paraules és nul·la, ja que no sé si el meu sentir és justificat o inclús si escriure-ho per ací ha sigut apropiat…